Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

Witam;)

Mam pytanie teoretyczne, głównie o schemat Hornera. Załóżmy, że mamy wielomian W(x)
Jeśli szukamy pierwiastków i znajdziemy jeden z nich to dzielimy wielomian W(x) przez (x-a) i otrzymujemy wielomian P(x).
Wówczas wielomian W(x) możemy zapisać w postaci (x-a)P(x).

Załóżmy że mamy to w tabelce Hornera.
Na górze jest wielomian, niżej wynik z dzielenia, dlaczego jeśli szukamy kolejnego pierwiastka to dzielimy nie ten wielomian na górze, tylko wynik z dzielenia?

pozdrawiam
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

Tak, dzielimy \(\displaystyle{ P(x)}\).
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

Wiem, ale nie wiem dlaczego tak jest.
Nie potrafie sobie tego jakby wytlumaczyc.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

No to może coś takiego. Mamy liczbę 273, chcemy ją rozłożyć na czynniki pierwsze,wiemy, że jednym z czynników jest 3, także dzielimy tą liczbę przez 3 i otrzymujemy 91 (\(\displaystyle{ 3 \cdot 91=273}\)), no to raczej będziemy dzielić 91 przez kolejne liczby, bo będzie łatwiej nam znaleźć rozkład? Dzielimy 91 przez 7 i mamy 13 (\(\displaystyle{ 13 \cdot 7=91}\)), także nasza liczba będzie wyglądać: \(\displaystyle{ 3 \cdot 91=3 \cdot 13 \cdot 7=273}\). Rozjaśniłem coś?
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

tak, już jaśniej:)

Czy moge to wytlumaczyc tez tak:
skoro jesli a jest pierw W(x), to W(x) jest podzielne przez (x-a)
czyli dziele to w schemacie.
Dalej, jeśli jest kolejny pierwiastek(niech bedzie to b) to W(x) jest podzielne przez (x-a)(x-b)
czyli ogolnie rzecz biorac w tabelce, W(x) muszę podzielić przez (x-a)(x-b), czyli najpierw dziele przez (x-a) a otrzmany wynik dziele jeszcze przez (x-b)
?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

Tak lub np. odwrotnie, na początku przez \(\displaystyle{ (x-b)}\), a potem \(\displaystyle{ (x-a)}\), nie ma różnicy.
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

Dzięki wielkie:)

Ostatnie pytanko, jeśli dziele wielomian przez(x-a)(x-b)
To to jest to samo co gdybym najpierw podzielil przez(x-a) a pozniej otrzymany wynik jeszcze przez(x-b) ?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

Przykładowo, mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\), dzielimy przez \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)}\) i otrzymujemy wielomian \(\displaystyle{ G(x)}\), wtedy jest: \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)G(x)}\).

Teraz drugi przypadek dzielimy \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-a)}\) i otrzymujemy wielomian \(\displaystyle{ C(x)}\), czyli \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)C(x)}\) i teraz dzielimy \(\displaystyle{ C(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-b)}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ D(x)}\), zauważ że wtedy będzie \(\displaystyle{ C(x)=(x-b)D(x)}\), teraz wracamy do pierwszego dzielenia, mieliśmy: \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)C(x)}\), podstawiamy \(\displaystyle{ C(x)}\), także \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)D(x)}\).

Z pierwszego mamy: \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)G(x)}\), a z drugiego: \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)D(x)}\), stąd wynika, że \(\displaystyle{ G(x)=D(x)}\), bo wielomiany muszą być sobie równe, także nie ma różnicy.

Tak samo na liczbach, 273 podzielimy przez \(\displaystyle{ 13 \cdot 7}\) to otrzymamy 3, tak samo będzie jak 273 podzielimy przez 13 i to co otrzymamy podzielimy przez 7, na końcu też będzie 3.
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

Jeszcze jedno mi się nasuwa, czy jeśli
C jest podzielna przez AB, to czy prawda jest że C jest podzielne przez A, oraz czy prawda jest ze C jest podzielne przez B?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

Prawda.
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

No, ale w takim razie, załóżmy że \(\displaystyle{ C=5, B=2.5, A=2}\)

czyli 5 jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2.5 x 2}\) czyli 5 jest podzielne przez 5 - prawda

A teraz czy C jest podzielne przez A?
5 dzielimy przez 2 i otrzymujemy 2 oraz resztę 1.

W którym momencie popełniam błąd?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

Myślałem, że nadal siedzimy w wielomianach i rozpatrywałem w liczbach naturalnych, jeżeli w rzeczywistych to oczywiście to nie zachodzi dla wszystkich.
m?odyM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: m?odyM »

Tzn. chciałem to odnieść do wielomianow.
Czyli dla wielomianów jest to prawda?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Teoria - dzielenie wielomianów i pierwiastki

Post autor: kamil13151 »

Dla wielomianów tak.
ODPOWIEDZ