Rozkładanie wielomianu na czynniki

[sasquatch1988]

Witam.
Mam mały problem z dwoma wielomianami:

1. Tutaj wychodzi mi wynik, ale różny od tego w odpowiedziach książki. Prosiłbym o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ x^{6}-2x^{4}-8x^{2}<0}\)
po wyłączeniu i podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) dostałem:
\(\displaystyle{ t(t^{2}-2t-8<0}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}+2)(x+2)(x-2)<0}\)
co daje:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (0,2)}\)

Proszę o weryfikację.

2. Jak zabrać się za rozkładanie:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2}\)
Nie umiem wpaść na pierwiastek, ani nic...

[ares41]

1.
Źle. \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem podwójnym .

[piasek101]

Dodatkowa informacja.
1) wielomian jest parzysty - zatem wynik powinien być symetryczny względem zera - masz źle.

[edit] 2) poszłoby z (-1) na końcu.

[sasquatch1988]

Dzięki bardzo, nie umiałem znaleźć błędu.

A na pomoc z drugim wciąż czekam. Nie wiem jak go ugryźć.

[Mariusz M]

W drugim dałoby radę pogrupować wyrazy ale może podam metodę która działa dla każdego wielomianu
czwartego stopnia

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2\\
x^{4}+x^{3}=x^{2}+2x+2\\
x^{4}+x^{3}+ \frac{1}{4}x^{2}= \frac{5}{4} x^{2}+2x+2\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x \right)^{2}=\frac{5}{4} x^{2}+2x+2\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y \right)^{2}=\left( y+ \frac{5}{4} \right)x^{2}+\left( \frac{1}{2}y+2 \right)x+ \frac{y^2}{4}+2\\
\left( \frac{1}{2}y+2 \right)^{2}=\left( y^{2}+8\right)\left( y+ \frac{5}{4} \right)\\
\frac{1}{4}y^{2}+2y+4=y^{3}+ \frac{5}{4}y^{2}+8y+10\\
y^{3}+y^{2}+6y+6=0\\
y^{2}\left( y+1\right)+6\left( y+1\right)=0\\
\left( y+1\right)\left( y^{2}+6\right)=0\\
y=-1\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}= \frac{1}{4} x^{2}+ \frac{3}{2} x+ \frac{9}{4}\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2}\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2}=0\\
\left( x^{2}+x+1\right)\left( x^{2}-2\right)=0\\
\left( x^{2}+x+1\right)\left( x+ \sqrt{2} \right)\left( x- \sqrt{2} \right)}\)

@Ares co do pierwszego to nie dlatego jest żle
Narysuj sobie parabolkę

\(\displaystyle{ x^2-4}\)

Na jakim przedziale dana funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne
Tutaj podpowiedź piaska jest dobra

[ares41]

@Ares co do pierwszego to nie dlatego jest żle

Jeżeli potraktuje zero jako pierwiastek pojedynczy, a nie podwójny, to przy rysowaniu "wężyka" otrzyma dokładnie taki przedział jaki napisał w pierwszym poście - dlatego to może być przyczyną błędu (i odważyłbym się stwierdzić, że tak też właśnie było ).

[mat_61]

2) Ewentualnie tak:

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2=x^{4}+x^{3}-2x^2+x^2-2x-2=\left( x^4-2x^2\right) +\left( x^3-2x\right) +(x^2-2)=...}\)

Dalej chyba widać co należy zrobić.

Oczywiście sposób który podał mariuszm ma tą zaletę, że jest uniwersalny.
Natomiast w typowych szkolnych zadaniach często jest tak, że przy nieparzystej ilości składników wielomianu, któryś z nich należy "rozbić" na dwa. Który wybrać, to kwestia wprawy i przeanalizowania współczynników przy kolejnych potęgach wielomianu.

[Mariusz M]

mat_61, zgadza się przecież napisałem że da radę pogrupować