Rozkładanie wielomianu na czynniki
- sasquatch1988
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 9 paź 2007, o 00:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 4 razy
Rozkładanie wielomianu na czynniki
Witam.
Mam mały problem z dwoma wielomianami:
1. Tutaj wychodzi mi wynik, ale różny od tego w odpowiedziach książki. Prosiłbym o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ x^{6}-2x^{4}-8x^{2}<0}\)
po wyłączeniu i podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) dostałem:
\(\displaystyle{ t(t^{2}-2t-8<0}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}+2)(x+2)(x-2)<0}\)
co daje:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (0,2)}\)
Proszę o weryfikację.
2. Jak zabrać się za rozkładanie:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2}\)
Nie umiem wpaść na pierwiastek, ani nic...
Mam mały problem z dwoma wielomianami:
1. Tutaj wychodzi mi wynik, ale różny od tego w odpowiedziach książki. Prosiłbym o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ x^{6}-2x^{4}-8x^{2}<0}\)
po wyłączeniu i podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) dostałem:
\(\displaystyle{ t(t^{2}-2t-8<0}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}+2)(x+2)(x-2)<0}\)
co daje:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (0,2)}\)
Proszę o weryfikację.
2. Jak zabrać się za rozkładanie:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2}\)
Nie umiem wpaść na pierwiastek, ani nic...
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Rozkładanie wielomianu na czynniki
Dodatkowa informacja.
1) wielomian jest parzysty - zatem wynik powinien być symetryczny względem zera - masz źle.
[edit] 2) poszłoby z (-1) na końcu.
1) wielomian jest parzysty - zatem wynik powinien być symetryczny względem zera - masz źle.
[edit] 2) poszłoby z (-1) na końcu.
- sasquatch1988
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 9 paź 2007, o 00:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 4 razy
Rozkładanie wielomianu na czynniki
Dzięki bardzo, nie umiałem znaleźć błędu.
A na pomoc z drugim wciąż czekam. Nie wiem jak go ugryźć.
A na pomoc z drugim wciąż czekam. Nie wiem jak go ugryźć.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkładanie wielomianu na czynniki
W drugim dałoby radę pogrupować wyrazy ale może podam metodę która działa dla każdego wielomianu
czwartego stopnia
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2\\
x^{4}+x^{3}=x^{2}+2x+2\\
x^{4}+x^{3}+ \frac{1}{4}x^{2}= \frac{5}{4} x^{2}+2x+2\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x \right)^{2}=\frac{5}{4} x^{2}+2x+2\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y \right)^{2}=\left( y+ \frac{5}{4} \right)x^{2}+\left( \frac{1}{2}y+2 \right)x+ \frac{y^2}{4}+2\\
\left( \frac{1}{2}y+2 \right)^{2}=\left( y^{2}+8\right)\left( y+ \frac{5}{4} \right)\\
\frac{1}{4}y^{2}+2y+4=y^{3}+ \frac{5}{4}y^{2}+8y+10\\
y^{3}+y^{2}+6y+6=0\\
y^{2}\left( y+1\right)+6\left( y+1\right)=0\\
\left( y+1\right)\left( y^{2}+6\right)=0\\
y=-1\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}= \frac{1}{4} x^{2}+ \frac{3}{2} x+ \frac{9}{4}\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2}\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2}=0\\
\left( x^{2}+x+1\right)\left( x^{2}-2\right)=0\\
\left( x^{2}+x+1\right)\left( x+ \sqrt{2} \right)\left( x- \sqrt{2} \right)}\)
@Ares co do pierwszego to nie dlatego jest żle
Narysuj sobie parabolkę
\(\displaystyle{ x^2-4}\)
Na jakim przedziale dana funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne
Tutaj podpowiedź piaska jest dobra
czwartego stopnia
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2\\
x^{4}+x^{3}=x^{2}+2x+2\\
x^{4}+x^{3}+ \frac{1}{4}x^{2}= \frac{5}{4} x^{2}+2x+2\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x \right)^{2}=\frac{5}{4} x^{2}+2x+2\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y \right)^{2}=\left( y+ \frac{5}{4} \right)x^{2}+\left( \frac{1}{2}y+2 \right)x+ \frac{y^2}{4}+2\\
\left( \frac{1}{2}y+2 \right)^{2}=\left( y^{2}+8\right)\left( y+ \frac{5}{4} \right)\\
\frac{1}{4}y^{2}+2y+4=y^{3}+ \frac{5}{4}y^{2}+8y+10\\
y^{3}+y^{2}+6y+6=0\\
y^{2}\left( y+1\right)+6\left( y+1\right)=0\\
\left( y+1\right)\left( y^{2}+6\right)=0\\
y=-1\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}= \frac{1}{4} x^{2}+ \frac{3}{2} x+ \frac{9}{4}\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2}\\
\left( x^{2}+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2}=0\\
\left( x^{2}+x+1\right)\left( x^{2}-2\right)=0\\
\left( x^{2}+x+1\right)\left( x+ \sqrt{2} \right)\left( x- \sqrt{2} \right)}\)
@Ares co do pierwszego to nie dlatego jest żle
Narysuj sobie parabolkę
\(\displaystyle{ x^2-4}\)
Na jakim przedziale dana funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne
Tutaj podpowiedź piaska jest dobra
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Rozkładanie wielomianu na czynniki
Jeżeli potraktuje zero jako pierwiastek pojedynczy, a nie podwójny, to przy rysowaniu "wężyka" otrzyma dokładnie taki przedział jaki napisał w pierwszym poście - dlatego to może być przyczyną błędu (i odważyłbym się stwierdzić, że tak też właśnie było ).mariuszm pisze:@Ares co do pierwszego to nie dlatego jest żle
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Rozkładanie wielomianu na czynniki
2) Ewentualnie tak:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2=x^{4}+x^{3}-2x^2+x^2-2x-2=\left( x^4-2x^2\right) +\left( x^3-2x\right) +(x^2-2)=...}\)
Dalej chyba widać co należy zrobić.
Oczywiście sposób który podał mariuszm ma tą zaletę, że jest uniwersalny.
Natomiast w typowych szkolnych zadaniach często jest tak, że przy nieparzystej ilości składników wielomianu, któryś z nich należy "rozbić" na dwa. Który wybrać, to kwestia wprawy i przeanalizowania współczynników przy kolejnych potęgach wielomianu.
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2=x^{4}+x^{3}-2x^2+x^2-2x-2=\left( x^4-2x^2\right) +\left( x^3-2x\right) +(x^2-2)=...}\)
Dalej chyba widać co należy zrobić.
Oczywiście sposób który podał mariuszm ma tą zaletę, że jest uniwersalny.
Natomiast w typowych szkolnych zadaniach często jest tak, że przy nieparzystej ilości składników wielomianu, któryś z nich należy "rozbić" na dwa. Który wybrać, to kwestia wprawy i przeanalizowania współczynników przy kolejnych potęgach wielomianu.