Wykazanie spełnienia nierówności dla wszystkich liczb.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: (z Kłaczkowa, cz. II., zad. 3.135)
Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^{6} + x^{4} + 2x^{2} \ge 0}\) przez każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\).

Czy mogę to zrobić tak: (?)

\(\displaystyle{ x^{6} + x^{4} + 2x^{2} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}(x^{4} + x^{2} + 2) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x^{2} \ge}\) dla \(\displaystyle{ x \in R \wedge x^{4} + x^{2} + 2 \ge 0}\) Traktuję to jako równanie dwukwadratowe i liczę \(\displaystyle{ \Delta}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 1 - 8 = -7 < 0 \Rightarrow x \in \phi}\). Współczynnik \(\displaystyle{ a}\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry i cały wykres znajduję się nad osią \(\displaystyle{ OX}\), więc \(\displaystyle{ x^{4} + x^{2} + 2 \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) cbdu.

Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

[Kartezjusz]

Bardzo dobrze,choć można dużo prościej...
Zauważ,że wszystkie składniki sumy muszą być nieujemne( kwadraty) więc ich suma też. Koniec

[dawid.barracuda]

Też fajne. Ale nie wpadłbym na to, a w zasadzie to banał rozwiązanie :] Dzięki za pomoc i pozdrawiam.