podzielność wielomianu .

[zbyszek96]

cześć jeżeli mamy wielomian W(x) i zachodzi \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x}}\) i \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x-1}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x+1}}\) to zachodzi też \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x(x-1)(x+1)}}\). Dlaczego tak jest ??

[kropka+]

Zachodzi. Podobnie jak z liczbami. Porównaj to z rozkładem liczby na czynniki pierwsze. Jeśli wiemy, że np. 120 dzieli się na 2, na 3 i na 5 to musi się dzielić przez iloczyn tych czynników czyli przez 30.

[zbyszek96]

no ale wtedy kiedy liczby są względnie pierwsze bo skoro 20 dzieli się przez 4 i 10 to powinno skoro tak dzielić się przez 40

[kropka+]

A te Twoje mianowniki nie są względnie pierwsze?

[zbyszek96]

x-1 i x+1 nie jest koniecznie względnie pierwsze

[kropka+]

Tylko, że to są zmienne a nie stałe, i podzielność zachodzi dla każdego x rzeczywistego.
Gdyby mianowniki były np: x, 2x, 3x to oczywiście wielomian niekoniecznie musiałby być podzielny przez \(\displaystyle{ 6x ^{3}}\) tylko przez \(\displaystyle{ 6x}\).

[zbyszek96]

czyli wielomian W(x) jak jest podzielny przez {x;x-1;....;x-n} to podzielny jest też przez ich iloczyn?

[kropka+]

Tak, a liczby 0,1,2,...,n są jego pierwiastkami.

[zbyszek96]

a jak to udowodnić ?

[kropka+]

Wpisz w google hasło: twierdzenie Bezouta.

[zbyszek96]

nie widze tam dowodu na problem który podałem tylko stwierdzenie że W(x) dzieli się przez x-p gdy W(p)=0

[kropka+]

Wielomian W(x) jest podzielny przez x to:

\(\displaystyle{ W(x)=xA(x)}\)

Żeby był podzielny przez następny mianownik to A(x) musi być przez niego podzielny , bo x nie jest podzielny przez (x-1) czyli:

\(\displaystyle{ A(x)= (x-1)B(x)}\)

Analogicznie w trzecim przypadku:

\(\displaystyle{ B(x)= (x+1) C(x)}\)

Z tych trzech równań wynika, że:

\(\displaystyle{ W(x)=xA(x)=x(x-1)B(x)=x(x-1)(x+1)C(x)}\)