Dwa zadania z parametrami - wielomiany.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 paź 2011, o 22:14

Witam. Mam takie zadania:
1)Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) liczba \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w?

a) \(\displaystyle{ w(x) = (x+3)(x^{2}+ax+6), x_{0} = -3}\)

b) \(\displaystyle{ w(x) = (2x^2-7x-4)(x^2-4a^2), x_{0} = 4}\)

2) Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczba \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wilomianu w?

a) \(\displaystyle{ w(x) = 6x^4+8x^3-8x^2+ax+b, x _{0} = -1}\)

b) \(\displaystyle{ w(x) = x^4-3x^3+ax^2+bx+4, x _{0} = 2}\)

Jak się za to najlepiej zabrać? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 paź 2011, o 22:15

1) Wstawić pod x-sa do tych kawałków z parametrem i ...

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 4 paź 2011, o 22:17

1. a) Rozważ przypadki, gdy wielomian \(\displaystyle{ x^{2}+ax+6}\) ma jedno miejsce zerowe, czyli -3, oraz gdy ma dwa miejsca zerowe, a jedno z nich to -3, drugie inne.

Możesz też z pochodnych.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 paź 2011, o 22:21

Bardzo podoba mi się koncepcja pochodnych. Pytanie: jak mam je wykorzystać?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 4 paź 2011, o 22:25

Skorzystaj z następującego twierdzenia: jeśli liczba jest \(\displaystyle{ n}\) - krotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest też \(\displaystyle{ n-1}\) - krotnym pierwiastkiem jego pochodnej.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 paź 2011, o 22:28

(mam to puszczam)
Pochodne - tu raczej do 2).

Podwójny pierwiastek np \(\displaystyle{ p}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to taki, że

\(\displaystyle{ W(p)=0}\) oraz \(\displaystyle{ W'(p)=0}\) jak również \(\displaystyle{ W''(p)\neq 0}\)

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 paź 2011, o 22:32

To pochodna wielomianu będzie wyglądała tak (?): Zad. 1a)

\(\displaystyle{ W(x) = (x+3)(x^2+ax+6)}\)

\(\displaystyle{ W'(x) = 2x + a}\)

Proszę mnie poprawić jeśli jest źle.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 paź 2011, o 22:34

Nie.

Tu ten kwadratowy kawałek ma mieć pojedynczy pierwiastek (-3).

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 4 paź 2011, o 22:35

No nie bardzo, skorzystaj ze wzorku na pochodną iloczynu lub wymnóż to i potem już normalnie pochodną każdego jednomianu, lecz lepiej zrobić to inaczej: \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+6}\), musi zachodzić \(\displaystyle{ W(-3)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(-3) \neq 0}\).

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 paź 2011, o 22:40

Więc wymnożyłem:

\(\displaystyle{ w(x) = x ^{3} + ax^{2} + 6x + 3x^{2} + 3ax + 18}\)

\(\displaystyle{ w'(x) = 3x^{2} + (2x + 3)a + 6x + 6}\)

Czy jest dobrze, a jeśli tak to co teraz?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 4 paź 2011, o 22:46

Pochodna dobrze, no u Ciebie teraz musi zachodzić \(\displaystyle{ w'(-3)=0}\) i \(\displaystyle{ w''(-3) \neq 0}\), ale po co sobie utrudniasz? Zrób inaczej, tak jak napisałem

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 paź 2011, o 22:48

Muszę teraz wyznaczyć a w pierwszej pochodnej, tak? Kolega zrobił to bez pochodnych, dlatego ja chcę mieć inne rozwiązanie na jutro, na matmę, więc dlatego chcę pochodne

Wyznaczyłem \(\displaystyle{ a}\) i wyszło 5. Czyli tj powinno Następny przykład i zadanie czymś się różnią jeśli chodzi o sposób rozwiązania?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 4 paź 2011, o 22:55

Dobra to zrobię to za Ciebie, bo zaraz zmykam spać.

\(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+6}\), musi zachodzić \(\displaystyle{ W(-3)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(-3) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W(-3)=9-3a+6=0 \Leftrightarrow a=5 \\
W'(x)=2x+a \\
W'(-3)=-6+a \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 6}\)
Także \(\displaystyle{ a=5}\) spełnia warunki zadania.

W drugim będą układy:
a) \(\displaystyle{ \begin{cases} w(-1)=0 \\ w'(-1)=0 \end{cases}}\)
Oraz na koniec sprawdzasz czy \(\displaystyle{ w''(-1) \neq 0}\).

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 paź 2011, o 22:56

Okej, dzięki. A co w przypadku, kiedy mam jeszcze drugą niewiadomą jak w przykładzie 8b?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 4 paź 2011, o 22:57

dawid.barracuda, w a) też masz dwie niewiadome, dlatego tworzymy układ z dwiema niewiadomymi i rozwiązujemy go .