Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w... Tw. Bezouta.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Wyznacz resztę dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ (x-3)(x+2)}\), jeżeli reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) wynosi \(\displaystyle{ 7}\), a przez dwumian \(\displaystyle{ x+2}\) wynosi \(\displaystyle{ -3}\).
Jak się za to najlepiej zabrać? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[Justka]

Zauważ, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ (x-3)(x+2)}\) jest postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\). Teraz wykorzystaj tw. Bezouta.

[dawid.barracuda]

To samo mam w ramce w podręczniku, ale zdaje się, iż nie jestem w stanie tego pojąć samodzielnie. Jak mam zapisać tą resztę? Wiem, że ma postać funkcji liniowej, ale jak mam wstawić dane do wzoru?

[Justka]

Reszta musi być co najmniej o jeden stopnień mniejsza niż dzielnik, stąd jest to postać liniowa w naszym przypadku.
Nasz wielomian wygląda w ten sposób
\(\displaystyle{ w(x)=(x-3)(x+2)Q(x)+R(x)}\), podstawiając \(\displaystyle{ x=3}\) oraz \(\displaystyle{ x=-2}\) otrzymasz \(\displaystyle{ \begin{cases} w(3)=R(3) \\ w(-2)=R(-2) \end{cases}}\) (to wynika jednoznacznie z tw. Bezout, tylko ja to troszkę rozpisałam) , i dalej łatwo

[dawid.barracuda]

Czyli układ będzie wyglądał tak: (?)
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(3) = 3a + b \\ w(-2) = -2a + b \end{cases}}\)
Ale jak mam zapisać \(\displaystyle{ w(3)}\)? Wybaczcie mi ułomność, ale nie wiem dalej do końca jak to zrobić.

[piasek101]

\(\displaystyle{ W(3)}\) masz podane w treści \(\displaystyle{ = 7}\) (wynika z Bezout'a).

[dawid.barracuda]

Zrobiłem kolejny przykład i wyszło dobrze, dzięki, już wiem jak się za to zabrać. Jeszcze dla formalności: czym jest dokładnie \(\displaystyle{ Q(x)}\)? To jest wynik dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\), tak?

[piasek101]

Tak.

[edit] Podobne (jest ich tu kilkadziesiąt) :
264037.htm