Wykaż, że liczba jest niewymierna

bliznieta07129 · Post autor: **bliznieta07129** » 29 wrz 2011, o 17:57

Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2} -1}\)jest liczbą niewymierną.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 29 wrz 2011, o 17:59

Np. znajdź odpowiedni wielomian niezerowy o współczynnikach całkowitych taki że \(\displaystyle{ \sqrt[3]2}\) jest pierwiastkiem wielomianu (wykaż, że jest niewymierna). Później uwzględnij jeszcze \(\displaystyle{ -1}\) i łatwo nie wprost można pokazać.

bliznieta07129 · Post autor: **bliznieta07129** » 29 wrz 2011, o 18:07

takim wielomianem byłby np \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}+3x ^{2} -3x-1}\), ale co z tym dalej?

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 29 wrz 2011, o 18:10

Znasz twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu niezerowego o współczynnikach całkowitych (wyraz wolny tego wielomianu różny od zera)?

bliznieta07129 · Post autor: **bliznieta07129** » 29 wrz 2011, o 18:15

nie kojarzę...

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 29 wrz 2011, o 18:17

Jeśli nie brałeś tego, to spróbuj pokazać nie wprost w inny sposób (zakładasz, że to liczba wymierna, której licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi) i dochodzisz do sprzeczności. W internecie powinny być przykłady.