Rozkład wielomianu na czynniki

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + x^{2} - 3 - 3 \sqrt{3}}\)

Pierwszy pierwiastek to \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jeżeli go podstawię do hornera nie umiem wymyślić drugiego pierwiastka. Proszę o pomoc.

[piasek101]

Dalej masz kwadratowe - to z delty idzie.

[Erurikku]

\(\displaystyle{ (x^{3} -3 \sqrt{3} )+ (x^{2} -3)\\
(x- \sqrt{3} )(x^{2} + \sqrt{3} \cdot x+3) + (x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})\\
(x- \sqrt{3})(x^{2} + \sqrt{3} \cdot x+3 + x+ \sqrt{3})\\
(x- \sqrt{3})\left[ x^{2} + ( \sqrt{3} +1)x +3+ \sqrt{3}\right] \\}\)

Teraz w drugim nawiasie masz równanie kwadratowe - liczysz sobie deltę i pierwiastki. No i masz postać iloczynową.

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ (x^{3} -3 \sqrt{3} )+ (x^{2} -3)\\
(x- \sqrt{3} )(x^{2} + \sqrt{3} \cdot x+3) + (x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})\\
(x- \sqrt{3})(x^{2} + \sqrt{3} \cdot x+3 + x+ \sqrt{3})\\
(x- \sqrt{3})\left[ x^{2} + ( \sqrt{3} +1)x +3+ \sqrt{3}\right] \\}\)

Teraz w drugim nawiasie masz równanie kwadratowe - liczysz sobie deltę i pierwiastki. No i masz postać iloczynową.

Dobrze więc:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3} + 1 )^{2} - 4 ( 3 + \sqrt{3} )}\)
\(\displaystyle{ 3 + 2\sqrt{3} + 1 - 12 - 4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ -8-2 \sqrt{3}}\)

To jest delta. Pierwiastek z delty to:

\(\displaystyle{ \sqrt{-8-2 \sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-2 \sqrt{2}-2\sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) wychodzą bardzo skomplikowane, coś zepsułem?

[Erurikku]

\(\displaystyle{ -8 - 2 \sqrt{3} <0 \\
\Delta < 0}\)
Więc nie ma miejsc zerowych.
Ostatecznym rozłożeniem wielomianu jest więc:
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3})\left[ x^{2} + ( \sqrt{3} +1)x +3+ \sqrt{3}\right] \\}\)

[sYa_TPS]

Ehh na siłę szukałem tych miejsc zerowych. Dziękuję.