Równania wielomianowe - wyznacz wspólne punkty wykresów

LeXin · Post autor: **LeXin** » 27 wrz 2011, o 20:55

Witam!
Mam za zadanie wyznaczyć wspólne punkty wykresów wielomianów u i w.

\(\displaystyle{ u(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+x-3}\)
\(\displaystyle{ w(x)=-\frac{1}{8}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+x-1}\)

Dochodzę do momentu gdy mam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}-2=0}\)
no i nie wiem jak to dalej rozłożyć aby dojść do wyniku. Z góry dziękuję za pomoc

mihu · Post autor: **mihu** » 27 wrz 2011, o 21:00

pod \(\displaystyle{ x ^{2}}\) podstaw t i oblicz delte t. Później wystarczy podstawić.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 27 wrz 2011, o 21:01

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}-2=(\frac{1}{4}x^2-1)(x^2+2)}\)

LeXin · Post autor: **LeXin** » 27 wrz 2011, o 21:10

lukasz1804, mógłbyś krok po kroku pokazać jak to się rozkłada?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 27 wrz 2011, o 21:15

Najlepiej początkowo wyłączyć poza nawias \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), by w nawiasie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych. Dalej można skorzystać z metody opisanej przez mihu.

LeXin · Post autor: **LeXin** » 27 wrz 2011, o 21:34

Wyjąłem, podstawiłem i wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(x-2)(x-4)}\)
Co dalej?

mihu · Post autor: **mihu** » 27 wrz 2011, o 22:13

Dochodzę do momentu gdy mam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}-2=0}\)

Ja bym to zrobił tak:
-pomnożył dwie strony przez 4 co da \(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{2} - 8 = 0}\)
-podstawił t pod \(\displaystyle{ x ^{}2}\) co da \(\displaystyle{ t ^{2} - 2t - 8 = 0}\)
-obliczył deltę t która równa jest 16
-obliczył \(\displaystyle{ t _{1} , t _{2}}\) które równe są \(\displaystyle{ t _{1} = -1, t _{2} = 3}\)
-odrzucamy \(\displaystyle{ t _{1}}\) ponieważ \(\displaystyle{ x ^{2} \neq -1}\)
-obliczamy x czyli \(\displaystyle{ x _{1} = \sqrt{3} , x _{2} = - \sqrt{3}}\)
-następnie podstawiamy od któregoś z równań \(\displaystyle{ x _{1}}\) i wtegy wyjdzie nam \(\displaystyle{ y _{1}}\)
-trzeba tak zrobić jeszcze raz tylko z \(\displaystyle{ x _{2}}\) i mamy współrzędne drugiego punktu

Mam nadzieje że pomogłem.

LeXin · Post autor: **LeXin** » 27 wrz 2011, o 22:18

Wychodzą mi cztery pierwiastki:
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}}\)
A w odpowiedziach mam tylko dwa podane? Co robię źle?

mihu, delta to nie przypadkiem 36?

evelan · Post autor: **evelan** » 27 wrz 2011, o 22:23

LeXin pisze:Wyjąłem, podstawiłem i wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(x-2)(x-4)}\)
Co dalej?

EDIT
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(x+2)(x-4)}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 4}\)
Z tym, że \(\displaystyle{ x_{2}}\) powinien wyjść 2

Potem podstawiamy \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) do \(\displaystyle{ u(x)}\) lub \(\displaystyle{ w(x)}\)

mihu · Post autor: **mihu** » 27 wrz 2011, o 22:26

Masz racje. delta równa jest 36. W tym wypadku \(\displaystyle{ t _{1} = -2, t _{2} = 4}\) więc i jak \(\displaystyle{ t _{1}}\) odpada bo jest ujemne. Czyli \(\displaystyle{ x _{1} = -2, x _{2} = 2}\). Dalej wystarczy policzyć \(\displaystyle{ y _{1}}\) i \(\displaystyle{ y _{2}}\)

EDIT:
Punkty wspólne powinny być takie:
A(2,-3) , B(-2,-7)

LeXin · Post autor: **LeXin** » 27 wrz 2011, o 22:44

Dzięki mihu, bardzo mi pomogłeś!