Kilka trudnych zadań

[m?odyM]

Witam
Proszę o pomoce z paroma zadankami:

zadanie 1
Uzasadnij następującą własność: Liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników tego wielomianu jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

zadanie 2
Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ k}\)- krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) \text{ i } m}\)- krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ V(x);\ (k>m)}\). Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest także pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ Z(x)}\), i ustal, jaką ma krotność, jeśli:

\(\displaystyle{ a)\ Z(x) = W(x) \cdot V(x)\\
b)\ Z(x) = W^{2}(x)(V(x)+3)\\
c)\ Z(x) = W(x) + V(x)}\)

proszę o pomoc
pozdrawiam

[tatteredspire]

Zadanie 1.

Udowodnij prawdziwość dwóch implikacji \(\displaystyle{ ((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) )\Leftrightarrow (p \Leftrightarrow q)}\)

[m?odyM]

a mógłbyś to rozpisac ?

[tatteredspire]

niech \(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n +a_n_-_1x^n^-^1+...+a_1x+a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n, a_n_-_1,...,a_1,a_0 \in \mathbb{R} \wedge a_n \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W(1)=0 \Leftrightarrow W(1)=a_n +a_n_-_1+...+a_1+a_0=0}\) - w "jedną stronę" dowód (możesz rozpisać to bardziej szczegółowo wstawiając za \(\displaystyle{ x}\) liczbę \(\displaystyle{ 1}\))
Gdy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem zerowym, to jest to oczywiste.

W drugą stronę odwrotnie - zakładasz, że suma współczynników wynosi zero.

[Marcinek665]

niech \(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n +a_n_-_1x^n^-^1+...+a_1x+a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n, a_n_-_1,...,a_1,a_0 \in \mathbb{R} \wedge a_n \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W(1)=0 \Leftrightarrow W(1)=a_n +a_n_-_1+...+a_1+a_0=0}\)

.

W tym miejscu dowód jest już zakończony. Przejście, którego użyłeś, jest równoważnością.

[tatteredspire]

No tak, powinienem był dać znak implikacji. Tak więc to wystarczy (bez tego w "drugą stronę").

[m?odyM]

niewiele z tego rozumiem, moglbys mi wyjasnic ten caly zapis?

[tatteredspire]

Praktycznie to jest wszystko - wystarczy wiedzieć co to znaczy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu i to zapisać. Czego konkretnie nie rozumiesz w tym zapisie?

[m?odyM]

W takim razie moze zle rozumiem czym jest liczba bedaca pierwiastkiem wielomianu, choc wydaje mi sie to oczywiste.

Po prostu skoto ma wyjsc 0 to wszystko powinno sie jakos poskracac tak?

[tatteredspire]

Nie masz podanego konkretnego wielomianu, więc należy pokazać, że dla dowolnego wielomianu będzie to prawdą (za wyjątkiem wielomianu stopnia zero tj. stałej różnej od zera). Ja oznaczyłem przez \(\displaystyle{ a}\) z indeksem dolnym odpowiednie współczynniki tego wielomianu (przy potędze \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia stoi współczynnik o indeksie dolnym \(\displaystyle{ n}\)). Gdybyś miał konkretny wielomian (jego współczynniki byłyby danymi liczbami rzeczywistymi) to zredukowałaby Ci się suma jego współczynników do zera, ale tutaj nie znasz współczynników więc musisz tak zostawić.

[m?odyM]

no ok, to rozumiem, ale jak one sie zredukuja skoro wszedzie jest dodawanie ?

[tatteredspire]

To zostało wykazane, np. część współczynników będzie dodatnia, część ujemna i inne tego typu "kombinacje". Napisz kilka wielomianów, których pierwiastkiem jest jeden i zobaczysz, że tak będzie.

[m?odyM]

okej

A co z zadaniem 2gim ?

[tatteredspire]

Może później, teraz muszę wyjść. Ew. może ktoś inny pomoże.

-- 26 wrz 2011, o 22:05 --

\(\displaystyle{ a}\)jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) \Leftrightarrow [(x-a)^k \mid W(x) \wedge (x-a)^k^+^1 \nmid W(x)]}\) - definicja

Zapisuję warunki zadania:

\(\displaystyle{ (x-a)^k \mid W(x) \wedge (x-a)^k^+^1 \nmid W(x) \wedge (x-a)^m \mid V(x) \wedge (x-a)^m^+^1 \nmid V(x)}\) , oczywiście \(\displaystyle{ k>m}\)

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) oraz wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\) można zapisać następująco:

\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)^k \cdot Q(x)}\)
\(\displaystyle{ V(x)=(x-a)^m \cdot F(x)}\)

Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ (x-a) \nmid Q(x) \wedge (x-a) \nmid F(x)}\), a stąd wynika, że \(\displaystyle{ (x-a) \nmid Q(x) \cdot F(x)}\)

a) \(\displaystyle{ Z(x)=W(x) \cdot V(x)=(x-a)^k(x-a)^m \cdot Q(x) \cdot F(x)=(x-a)^k^+^m \cdot Q(x) \cdot F(x) \Rightarrow krotnosc=m+k}\)
b)\(\displaystyle{ Z(x)=W^2(x)(V(x)+3)=(x-a)^2^k \cdot [Q(x)]^2((x-a)^m \cdot F(x)+3)=(x-a)^2^k \cdot [Q(x)]^2(x-a)^m \cdot F(x)+3(x-a)^2^k \cdot [Q(x)]^2=(x-a)^2^k^+^m \cdot [Q(x)]^2 \cdot F(x)+3(x-a)^2^k \cdot [Q(x)]^2=(x-a)^2^k \cdot [Q(x)]^2((x-a)^m F(x)+3) \Rightarrow krotnosc=2k}\)
c)\(\displaystyle{ Z(x)=W(x)+V(x)=(x-a)^k \cdot Q(x)+(x-a)^m \cdot F(x)=(x-a)^m((x-a)^k^-^m \cdot Q(x)+F(x)) \Rightarrow krotnosc=m}\)