Rozwiązywanie nierówności

[saweh]

Może ktoś sprawdzić te zadanie?

\(\displaystyle{ \left| x^3-9x\right| < 8x^2\\
I\\ x^3-9x \ge 0\\
x\left( x^2-9\right) \ge 0\\
x \left( x-3\right) \left( x+3\right) \ge 0\\
x=0\ x=3 \ x=-3\\
x\in \langle-3,0\rangle \cup \langle3, \infty )\\
x^-9x-8x^2 < 0\\
x^3-8x^2-9x < 0\\
x\left( x^2-8x-9\right) < 0\\
x=0\ x= 9 \ x=-1\\
x \in \left( - \infty ,-1\right) \cup \left( 0,9\right)\\
x \in \langle-3,0) \cap \langle3,9)\\
II\\ x^3-9x < 0\\
x \in \left( - \infty \right) \cup (0,3)\\
-x^3+9x-8x^2 < 0\\
-x\left( x^2+x-9\right) < 0\\
x=0 \ \ x= \frac{-1+ \sqrt{37} }{2} \ \ x=\frac{-1- \sqrt{37} }{2}\\
x \in\left( \frac{-1+ \sqrt{37} }{2},0\right) \cup \left( \frac{-1+ \sqrt{37} }{2}, \infty\right)\\
x \in \left( \frac{-1- \sqrt{37} }{2},-3\right) \cap \left( \frac{-1+ \sqrt{37} }{2},3\right)}\)

Część wspólna z ostatniego zbioru założenia I i II - \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru pustego.

[anna_]

I
\(\displaystyle{ x \in <-3;-1) \cup <3;9)}\)
w II też gdzieś masz błąd-- dzisiaj, o 14:11 --Tutaj jest błąd

II
\(\displaystyle{ -x^3+9x-8x^2 < 0\\
-x\left( x^2+x-9\right) < 0}\)

[saweh]

\(\displaystyle{ x^3-9x<0\\

x\in\left(- \infty,-3 \right) \cup \left(0,3 \right)\\

-x^3-8x^2+9x<0\\
x(-x^2-8x+9)<0\\
x=0 x=-9 x=1\\

x\in\left(-9,0 \right) \cup \left(1, \infty \right)\\

x\in\left(-9,-3 \right) \cap \left(1,3 \right)}\)

Po poprawkach nadal wychodzi mi, że końcowa odpowiedź: \(\displaystyle{ x\in\o}\)

[Mistrz]

Rozwiązanie I przypadku: \(\displaystyle{ \left< -3; -1 \right) \cup \left< 3; 9 \right)}\)
Rozwiązanie II przypadku: \(\displaystyle{ (-9; -3) \cup (1;3)}\)
Rozwiązanie całego zadania: \(\displaystyle{ I \cup II = (-9;-1) \cup (1;9)}\)

[saweh]

Na pewno ma być to suma zbiorów, a nie część wspólna - odnośnie rozwiązania całego zadania?

[Mistrz]

Na pewno

Tak chyba chciałeś zrobić: rozwiązać tę nierówność najpierw dla tych \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne (czyli dla \(\displaystyle{ x \in \left<-3; 0\right> \cup \left<3 ; \infty \right>}\), a potem dla pozostałych, czyli dla tych, dla których to wyrażenie jest ujemne (czyli dla \(\displaystyle{ x \in \left(-\infty; -3\right) \cup \left(0 ; 3 \right)}\)). Jeżeli chciałbyś brać część wspólną, to zobacz, że już dla tych dwóch zbiorów wyszłoby Ci \(\displaystyle{ x \in \emptyset}\) i nie ma innej możliwości: przecież jeden przypadek to ten, w którym \(\displaystyle{ x^3 -9x \ge 0}\), a drugi to ten, w którym \(\displaystyle{ x^3 -9x < 0}\). One oba nie mogą zachodzić jednocześnie.

[saweh]

Możesz sprawdzić jeszcze te zadanie?

\(\displaystyle{ \left|x^4-1 \right| <3x^2+3\\

I x^4-1 \geqslant 0\\
\left (x^2 \right )^2-1^2\geqslant 0\\
...\\
x=1\ x=-1\ x\varepsilon\O\\
x\varepsilon \left(-\infty ,-1 \right \rangle \cup \left \langle 1, \infty\right)\\

x^4-3x^2-4 < 0\\

\left(x^4-3x^2-4 \right):\left(x-2 \right)=x^3+2x^2+x+2\\
x=2\ x=-2\ x\epsilon \O \\

x\varepsilon\left(-2,2 \right)\\

x\varepsilon\left( -2,-1\right \rangle \cap \left \langle 1, 2\right)\\

II\\ x^4-1< 0

x\varepsilon \left ( -1,1 \right )\\

-x^4-3x^2-2< 0\\
x\varepsilon \O\\

Suma obu rozwiązań:\\
x\varepsilon \left (-2,-1 \ \right \rangle \cup \left \left \langle1,2 \right )}\)

[Mistrz]

Wydajesz się czasem mylić znaczki \(\displaystyle{ \cup}\) i \(\displaystyle{ \cap}\). W przypadku I faktycznie jest \(\displaystyle{ (-2; -1 \rangle \cup \left< 1;2)}\). Natomiast w II jest jednak \(\displaystyle{ (-1;1)}\). Źle rozwiązałeś nierówność \(\displaystyle{ -x^4-3x^2-2<0}\). Nierówność ta zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\).

[saweh]

W przypadku I faktycznie jest \(\displaystyle{ (-2; -1 \rangle \cup \left< 1;2)}\).

Szukałem części wspólnej, więc \(\displaystyle{ \cap}\)


Jutro spróbuje rozwiązać zadanie jeszcze raz.

[Mistrz]

\(\displaystyle{ \left( (-\infty; -1 \rangle \cup \langle 1; \infty) \right) \cap (-2;2) = (-2; -1 \rangle \cup \langle 1;2)}\)

[saweh]

Rozwiązanie całego zadania to \(\displaystyle{ x\varepsilon\left( -2,2\right)}\)?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \left|x^4-1 \right| <3x^2+3}\) - jeśli o tym mowa, to tak.