Wielomian stopnia n i jego pierwiastki.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Podaj przykład wielomianu stopnia n, którego jedynymi pierwiastkami są liczby -2 i 3, a wyraz wolny jest równy 1.
a) n = 2;
b) n = 4;
c) n = 6.
Wiem jak się sprawy mają, gdyby nie było wyrazu wolnego, ale jak zrobić, by uwzględnić ten wyraz wolny? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[piasek101]

Kombinujesz jaką liczbę wpisać przed nawiasy aby po wymnożeniu wyszło na końcu (1).

[dawid.barracuda]

Więc, pierwsze zrobiłem tak:
Skoro miejsca zerowe mają być -2 i 3, a c = 1 to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4a - 2b + 1 = 0 \\ 9a + 3b + 1 = 0 \end{cases}}\)

rozwiązując to wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = - \frac{1}{6} \\ b = \frac{1}{6} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{6}x ^{2} + \frac{1}{6}x + 1 = 0}\)

Ale dalej nie mam pomysłu, proszę o pomoc.

[piasek101]

Myślałem o :

\(\displaystyle{ a(x+2)(x-3)}\) z tego \(\displaystyle{ -6a=1}\)

Pozostałe analogicznie.

[dawid.barracuda]

Skąd to -6a = 1? Bo 2 razy -3?

[piasek101]

Tak.
Wyraz wolny otrzymasz z mnożenia \(\displaystyle{ a\cdot 2\cdot (-3)}\); a z treści masz \(\displaystyle{ =1}\).

[dawid.barracuda]

To b) będzie: \(\displaystyle{ a(x-3) ^{2} (x+2)^{2} = 0}\) i tak samo c) tylko z 3 w wykładniku?

[piasek101]

Tak.
Ale b) i c) można na kilka sposobów

Np
b) \(\displaystyle{ a(x+2)(x-3)^3}\) i tutaj masz \(\displaystyle{ a\cdot 2\cdot (-3)^3=1}\)