Wielomian niby prosty

[adach250]

Witam! Niby proste ale cos mi nie wychodzi chcialbym zobaczyc jak wy to rozwiążecie:
\(\displaystyle{ x^{4}+6x^{3}+8x^{2}-3x-2=0}\)

[Vax]

\(\displaystyle{ x^4 + 6x^3 = -8x^2+3x+2 /+9x^2}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x)^2 = x^2+3x+2}\)

Dążymy do tego, aby prawą stronę zapisać w postaci kwadratu, wprowadźmy więc nową niewiadomą y, aby lewa strona pozostała kwadratem, a prawą stronę móc od niej uzależnić:

\(\displaystyle{ (x^2+3x+y)^2 = (2y+1)x^2+(6y+3)x+y^2+2}\)

Chcemy więc prawą stronę zapisać w postaci kwadratu, można teraz liczyć deltę niewiadomej x, przyrównywać ją do zera i szukać pierwiastków, jednak można spróbować trochę szybciej. Zauważmy, że prawą stronę będzie się dało ,,ładnie" zawinąć do kwadratu, jeżeli zerowy będzie współczynnik przy iksie oraz przy wyrazie wolnym, lub zerowy będzie współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) i \(\displaystyle{ x}\), 1 przypadek odpada, bo musiałoby być \(\displaystyle{ y^2+2 = 0}\), co w rzeczywistych nie ma rozwiązań, ale patrząc na drugi widzimy, że chcemy aby zaszło:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y+1 = 0\\ 6y+3 = 0 \end{cases}}\)

Co oczywiście ma rozwiązanie \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}}\), wstawiamy więc je dostając:

\(\displaystyle{ (x^2+3x+y)^2 = (2y+1)x^2+(6y+3)x+y^2+2}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x-\frac{1}{2})^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x-2)(x^2+3x+1) = 0}\)

Stąd już standardowo wyznaczamy pierwiastki.

Innym sposobem, jest zapisanie \(\displaystyle{ x^4+6x^3+8x^2-3x-2 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\), dla pewnych współczynników \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), łatwo można zauważyć ile muszą wynosić współczynniki \(\displaystyle{ b,d}\) dostając \(\displaystyle{ (x^2+ax-2)(x^2+cx+1)}\). Teraz wszystko wymnażasz, grupujesz i tworzysz odpowiedni układ równań, w którym przyrównujesz współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach niewiadomej.

[Mariusz M]

@Vax tutaj to zadziała ale w przypadku ogólnym chyba trzeba liczyć wyróżnik
czyli tzw deltę a co do rozpisania iloczynu dwóch trójmianów w postaci ogólnej
to w przypadku bardziej ogólnym bez wyrugowania wyrazu \(\displaystyle{ y=a_{3}x^{3}}\)
trochę trudniej będzie znaleźć te współczynniki

Gdyby liczył wyróżnik równanie wielomianowe ładnie pogrupowałoby się
więc byłoby równie szybko

Z wyróżnikiem byłoby tak

\(\displaystyle{ \left( 6y+3\right)^2=4\left( y^2+8\right)\left( 2y+1\right)\\
9\left( 2y+1\right)\left( 2y+1\right) =\left( 4y^2+32\right)\left( 2y+1\right) \\
\left( 2y+1\right)\left( 4y^2-18y+23\right)=0}\)

[Vax]

@mariuszm oczywiście, ten sposób nie zawsze daje pozytywny rezultat i często trzeba liczyć wyróżnik, jednak moim zdaniem warto czasem nie iść schematem i po drodze szukać pewnych sposobów, dzięki którym można mocno skrócić dalsze obliczenia