jak rozwiązać to równanie
\(\displaystyle{ x^3 - 5x^2 - 8x - 4 = 0}\)
wielomian 3 stopnia
-
andrzej88g
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 4 wrz 2011, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Surowa
-
tatteredspire
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
wielomian 3 stopnia
Np. korzystając z gotowych wzorów na pierwiestki wielomianu stopnia 3. Pierwiastków wymiernych ten wielomian nie ma. Można próbować rozłożyć na czynniki grupując odpowiednio jednomiany, ale może nie być to proste.
-
opti
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 17:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 53 razy
- Pomógł: 46 razy
wielomian 3 stopnia
1. Z tabelki Hornera, spradzając po kolei różne całkowite liczby
2. Grupując wyrazy (tutaj akurat nie da rady)
Warto spojrzeć na współczynniki przy konkretnych potęgach - jeżeli ich suma jest równa 0, to pierwiastkiem wielomianu jest liczba 1.
2. Grupując wyrazy (tutaj akurat nie da rady)
Warto spojrzeć na współczynniki przy konkretnych potęgach - jeżeli ich suma jest równa 0, to pierwiastkiem wielomianu jest liczba 1.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
wielomian 3 stopnia
Jeżeli mamy równanie
\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
to podstawieniem \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{3}}{3a_{3}}}\)
rugujemy wyraz \(\displaystyle{ a_{2}x^{2}}\)
Mając równanie
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
możemy sprowadzić je do równania kwadratowego podstawieniami
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
lub
\(\displaystyle{ y=u- \frac{p}{3u}}\)
Można także to równanie rozwiązać przy pomocy funkcyj trygonometrycznych
(pamiętasz wzór na sinusa/cosinusa potrojonego kąta)
\(\displaystyle{ x^3 - 5x^2 - 8x - 4 = 0\\
x=y+ \frac{5}{3}\\
\left( y+ \frac{5}{3} \right)^3-5\left( y+ \frac{5}{3} \right)^2-8\left( y+ \frac{5}{3} \right)-4=0\\
y^{3}+5y^{2}+ \frac{25}{3}y+ \frac{125}{27}-5y^2- \frac{50}{3}y- \frac{125}{9}-8y- \frac{40}{3}-4\\
y^{3}- \frac{49}{3}y- \frac{718}{27}=0\\
y=u+v\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2- \frac{718}{27}-3\left( u+v\right) \cdot \frac{49}{9} \\
u^3+v^3- \frac{718}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{49}{9} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3- \frac{718}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{49}{9} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{718}{27} \\ uv= \frac{49}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{718}{27} \\ u^3v^3= \frac{117649}{729} \end{cases} \\}\)
Otrzymaliśmy wzory Viete równania kwadratowego
\(\displaystyle{ t^2- \frac{718}{27}t+ \frac{117649}{729}=0\\
\Delta= \frac{515524-470596}{729}= \frac{44928}{729}\\
t_{1,2}= \frac{718\pm \sqrt{44928} }{54}\\
t_{1,2}= \frac{359\pm \sqrt{11232} }{27}\\
y=u+v= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{359+\sqrt{11232}}+\sqrt[3]{359-\sqrt{11232}} \right)\\
x= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{359+\sqrt{11232}}+\sqrt[3]{359-\sqrt{11232}} +5\right)}\)
Jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty pozostałe znajdziesz korzystając z
zespolonych pierwiastków z jedynki albo z twierdzenia Bezout
\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
to podstawieniem \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{3}}{3a_{3}}}\)
rugujemy wyraz \(\displaystyle{ a_{2}x^{2}}\)
Mając równanie
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
możemy sprowadzić je do równania kwadratowego podstawieniami
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
lub
\(\displaystyle{ y=u- \frac{p}{3u}}\)
Można także to równanie rozwiązać przy pomocy funkcyj trygonometrycznych
(pamiętasz wzór na sinusa/cosinusa potrojonego kąta)
\(\displaystyle{ x^3 - 5x^2 - 8x - 4 = 0\\
x=y+ \frac{5}{3}\\
\left( y+ \frac{5}{3} \right)^3-5\left( y+ \frac{5}{3} \right)^2-8\left( y+ \frac{5}{3} \right)-4=0\\
y^{3}+5y^{2}+ \frac{25}{3}y+ \frac{125}{27}-5y^2- \frac{50}{3}y- \frac{125}{9}-8y- \frac{40}{3}-4\\
y^{3}- \frac{49}{3}y- \frac{718}{27}=0\\
y=u+v\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2- \frac{718}{27}-3\left( u+v\right) \cdot \frac{49}{9} \\
u^3+v^3- \frac{718}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{49}{9} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3- \frac{718}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{49}{9} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{718}{27} \\ uv= \frac{49}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{718}{27} \\ u^3v^3= \frac{117649}{729} \end{cases} \\}\)
Otrzymaliśmy wzory Viete równania kwadratowego
\(\displaystyle{ t^2- \frac{718}{27}t+ \frac{117649}{729}=0\\
\Delta= \frac{515524-470596}{729}= \frac{44928}{729}\\
t_{1,2}= \frac{718\pm \sqrt{44928} }{54}\\
t_{1,2}= \frac{359\pm \sqrt{11232} }{27}\\
y=u+v= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{359+\sqrt{11232}}+\sqrt[3]{359-\sqrt{11232}} \right)\\
x= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{359+\sqrt{11232}}+\sqrt[3]{359-\sqrt{11232}} +5\right)}\)
Jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty pozostałe znajdziesz korzystając z
zespolonych pierwiastków z jedynki albo z twierdzenia Bezout