Wyznacz parametry p i q .......

[grzegorz87]

Wyznacz parametry p i q, dla których liczba \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania :
\(\displaystyle{ x^{3}+px^{2}+qx-2=0 , x_{0}= -1 .}\)
Wiem, że mam podzilić przez (x+1)^2 , ale co dalej?

[wb]

Otrzymaną resztę (z parametrem q) przyrównać do wielomianu zerowego (współczynniki reszty muszą być zerowe).

[setch]

Jesli jest podwojnym pierwiastkiem, zatem wolno podzielić ten wielomian przez (x+1) dwukrotnie, zatem
\(\displaystyle{ (x^3+px^2+qx-2):(x+1)=x^2+(-1+p)x+(1-p+q)+(-3+p-q)\\
(x^2+(-1+p)x+(1-p+q)):(x+1)=x+(-2+p)+(3-2p+q)}\)
Obie reszty sa rowne zero, zatem teraz wystarczy rozwiazac uklad rownan
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}3-2p+q=0\\-3+p-q=0\end{array}}\)
Sprawdz jeszcze czy nie pomylilem sie przy obliczeniach

[max]

Inaczej:

Wielomian ma 2 pierwiastki rzeczywiste, więc musi rozkładać się na 3 czynniki liniowe, a zatem ma również trzeci pierwiastek rzeczywisty. Oznaczmy go jako \(\displaystyle{ x_{1}}\) Korzystając z wzorów Viete'a mamy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}2x_{0} + x_{1} = -p\\
2x_{0}x_{1} + x_{0}^{2} = q\\
x_{0}^{2}x_{1} = 2\end{array}
\\
\left\{\begin{array}{l}-2 + x_{1} = -p\\
-2x_{1} + 1 = q\\
x_{1} = 2\end{array}
\\
\left\{\begin{array}{l}p = 0\\
q = -3\\
x_{1} = 2\end{array}}\)

Mniej ciekawie, ale dużo prościej i szybciej byłoby nie dzielić dwukrotnie wielomian przez \(\displaystyle{ (x + 1)}\), tylko zapisać go w postaci:
\(\displaystyle{ (x + 1)^{2}(x - a)}\)
i dalej zauważyć, że \(\displaystyle{ a = 2}\) i wymnożyć...

[grzegorz87]

ok dzięki wszystkim za pomoc, i za różne podejścia do zadań, wszyscy otrzymują ode mnie "pomógł"