Rozwiąż równanie

[Razirar]

Rozwiąż równania :
\(\displaystyle{ 2x ^{4} -21x ^{3}+74x^{2}-105x+50=0 \\
16x^{3}-28x^{2}+4x+3=0}\)
//Prosiłbym najlepiej metodą grupowania wyrazów(lub inną szybką metodą), twierdzenie o wymiernych pierwiastkach jest raczej odpada, gdyż jest zbyt czasochłonne

[anna_]

1.
\(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) są pierwiastkami

[piasek101]

2)
\(\displaystyle{ x=0,5}\)
lub
\(\displaystyle{ x=1,5}\)

trzeci znajdziesz.

[Mariusz M]

Jak nie chcesz szukać pierwiastków wśród dzielników to

\(\displaystyle{ 2x^{4}-21x^{3}+74x^{2}-105x+50=0\\
4x^{4}-42x^{3}+148x^{2}-210x+100=0\\
4x^{4}-42x^{3}=-148x^{2}+210x-100\\
4x^{4}-42x^{3}+ \frac{441}{4}x^{2}=- \frac{151}{4}x^{2}+210x-100\\
\left( 2x^{2}- \frac{21}{2}x \right)^{2}=- \frac{151}{4}x^{2}+210x-100\\
\left( 2x^{2}- \frac{21}{2}x + \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( 2y- \frac{151}{4}\right) x^{2}+\left( - \frac{21}{2}y+210 \right) x+ \frac{y^{2}}{4} -100\\
\left( y^2-400\right)\left( 2y- \frac{151}{4}\right)- \left( - \frac{21}{2}y+210\right)^2=0}\)

Łatwo zauważyć że \(\displaystyle{ y=20}\)

jest pierwiastkiem tego równania

\(\displaystyle{ \left( 2x^{2}- \frac{21}{2}x + 10 \right)^{2}= \frac{9}{4}x^{2}\\
\left( 2x^{2}-12x+10\right)\left( 2x^{2}-9x+10\right)=0\\
\left( x^{2}-6x+5\right)\left( 2x^{2}-9x+10\right)=0\\
\left( x-1\right)\left( x-5\right)\left( 2x-5\right)\left( x-2\right)=0}\)

\(\displaystyle{ 16x^{3}-28x^{2}+4x+3=0\\
16x^{3}-32x^{2}+12x+4x^{2}-8x+3=0\\
4x\left( 4x^2-8x+3\right)+\left( 4x^2-8x+3\right)=0\\
\left( 4x+1\right)\left( 4x^2-8x+3\right)=0\\
\left( 4x+1\right)\left( 2x-1\right)\left( 2x-3\right)=0}\)