Nierówność wielomianowa

[chlorofil]

\(\displaystyle{ x^6-6x+5 > 0}\)

Łatwo zauważyć, że wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^2}\). Dostajemy:

\(\displaystyle{ x^6-6x+5 = (x-1)^2(x^4+2x^3+3x^2+4x+5) > 0}\)

Rozpatrując drugi czynnik liczymy pierwszą pochodną:

\(\displaystyle{ g(x) = 2(2x^3+3x^2+3x+2)}\)

która ma pierwiastek dla \(\displaystyle{ x=-1}\)

Łatwo można wykazać (licząc drugą pochodną \(\displaystyle{ g(x)}\)), że jest to jedyny pierwiastek. Widać więc, że drugi czynnik jest zawsze dodatni.

Dostajemy ostatecznie rozwiązanie: \(\displaystyle{ x \in R \setminus \{1\}}\)

Podobno istnieje prostsze rozwiązanie tego zadania. Czy ktoś z Was je zna?

[Vax]

Jeżeli \(\displaystyle{ x\le 0}\) nierówność jest oczywista, niech \(\displaystyle{ x>0}\), mamy rozwiązać:

\(\displaystyle{ x^6 + 5 > 6x}\)

Ale z ważonej am-gm wynika \(\displaystyle{ x^6 + 5 \ge 6x}\), równość zajdzie wtw gdy \(\displaystyle{ x^6 = 1 \Rightarrow x=1}\) (bo x dodatnie).

[aalmond]

\(\displaystyle{ f'(x) = 6x ^{5} -6}\)
Jedyny pierwiastek rzeczywisty pochodnej to \(\displaystyle{ x = 1}\)
W punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) ma minimum.

[frej]

Jak już tak ładnie podzieliłeś, to dalej łatwo, bo:
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^6+5-6x>0}\) , a dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\) ten drugi nawias jest zawsze dodatni...