\(\displaystyle{ x^6-6x+5 > 0}\)
Łatwo zauważyć, że wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^2}\). Dostajemy:
\(\displaystyle{ x^6-6x+5 = (x-1)^2(x^4+2x^3+3x^2+4x+5) > 0}\)
Rozpatrując drugi czynnik liczymy pierwszą pochodną:
\(\displaystyle{ g(x) = 2(2x^3+3x^2+3x+2)}\)
która ma pierwiastek dla \(\displaystyle{ x=-1}\)
Łatwo można wykazać (licząc drugą pochodną \(\displaystyle{ g(x)}\)), że jest to jedyny pierwiastek. Widać więc, że drugi czynnik jest zawsze dodatni.
Dostajemy ostatecznie rozwiązanie: \(\displaystyle{ x \in R \setminus \{1\}}\)
Podobno istnieje prostsze rozwiązanie tego zadania. Czy ktoś z Was je zna?
Nierówność wielomianowa
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Nierówność wielomianowa
Jeżeli \(\displaystyle{ x\le 0}\) nierówność jest oczywista, niech \(\displaystyle{ x>0}\), mamy rozwiązać:
\(\displaystyle{ x^6 + 5 > 6x}\)
Ale z ważonej am-gm wynika \(\displaystyle{ x^6 + 5 \ge 6x}\), równość zajdzie wtw gdy \(\displaystyle{ x^6 = 1 \Rightarrow x=1}\) (bo x dodatnie).
\(\displaystyle{ x^6 + 5 > 6x}\)
Ale z ważonej am-gm wynika \(\displaystyle{ x^6 + 5 \ge 6x}\), równość zajdzie wtw gdy \(\displaystyle{ x^6 = 1 \Rightarrow x=1}\) (bo x dodatnie).
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Nierówność wielomianowa
\(\displaystyle{ f'(x) = 6x ^{5} -6}\)
Jedyny pierwiastek rzeczywisty pochodnej to \(\displaystyle{ x = 1}\)
W punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) ma minimum.
Jedyny pierwiastek rzeczywisty pochodnej to \(\displaystyle{ x = 1}\)
W punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) ma minimum.
Nierówność wielomianowa
Jak już tak ładnie podzieliłeś, to dalej łatwo, bo:
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^6+5-6x>0}\) , a dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\) ten drugi nawias jest zawsze dodatni...
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^6+5-6x>0}\) , a dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\) ten drugi nawias jest zawsze dodatni...