rozłóż wielomiany

malowana · Post autor: **malowana** » 13 wrz 2011, o 19:59

\(\displaystyle{ a) \ W(x)=x ^{4} -4x ^{3} +5x ^{2} -2x\\
b) \ W(x)=6x ^{8} -12x ^{6} -5x ^{5} +10x ^{3} +x ^{2} -2}\)

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 13 wrz 2011, o 20:06

\(\displaystyle{ x ^{4} -4x ^{3} +5x ^{2} -2x =x(x^3 -4x^2 +5x -2)}\)
i jednym z miejsc zerowych jest dla \(\displaystyle{ x=1}\)

Erurikku · Post autor: **Erurikku** » 13 wrz 2011, o 20:13

a)Proponuję schemat Hornera. Ew. dzielenie wielomianów, ale to żmudne.
Podpowiedź.
\(\displaystyle{ W(1) = 0}\)

b) \(\displaystyle{ W(x)=6x^{6}(x^{2}-2) -5x^{3} (x^{2}-2) +x^{2} -2}\) Wyciągnij \(\displaystyle{ x^{2} -2}\) przed nawias. Dla pozostałego elementu \(\displaystyle{ 6x^{6} -5x^{3} +1}\) zastosuj proste podstawienie \(\displaystyle{ t = x^{3}}\) i rozwiązujesz zwykłe równanie kwadratowe.

malowana · Post autor: **malowana** » 13 wrz 2011, o 20:38

przykład b rozumiem

ale co do a to nie da się tego jeszcze bardziej rozłożyć?
jak rozwiązać równanie z takim wielomianem?

Erurikku · Post autor: **Erurikku** » 13 wrz 2011, o 20:50

\(\displaystyle{ W(x) = x (x^{3} -4x^{2} +5x -2)}\)
Wiesz (podpowiedź) że \(\displaystyle{ W(1) = 0}\)
Masz więc dwie metody rozwiązania tego zadania: Schemat Hornera albo Podzielenie wielomianu
\(\displaystyle{ x^{3} -4x^{2} +5x -2}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\)
Jeśli nie znasz tych metod to proponuję zapoznać się z kompendium na stronie lub zapytać nauczyciela lub znaleźć podręcznik lub poszukać w internecie.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 15 wrz 2011, o 01:43

\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+5x^2-2x=0\\
x^{4}-4x^{3}=-5x^2+2x\\
x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=-x^{2}+2x\\
\left( x^{2}-2x\right)^{2}= -x^{2}+2x\\
\left( x^{2}-2x+ \frac{y}{2} \right)^{2}= \left( y-1\right) x^{2}-\left( 2y-2\right) x+ \frac{y^2}{4} \\
4\left( y-1\right) \left( y-1\right) =y^{2}\left( y-1\right)\\
\left( y-1\right)\left( y^2-4y+4\right)=0\\
\left( y-1\right)\left( y-2\right)^2=0\\
y=1\\
\left( x^{2}-2x+ \frac{1}{2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{2} \right)^{2}\\
\left( x^{2}-2x+ \frac{1}{2} \right)^{2}- \left( \frac{1}{2} \right)^{2}=0\\
\left( x^{2}-2x \right)\left( x^{2}-2x+ 1 \right)=0\\
x\left( x-2\right) \left( x-1\right)^{2}=0}\)

Tym sposobem rozłożysz każdy wielomian czwartego stopnia

Najpierw przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
Lewą stronę uzupełniasz do kwadratu dodając stronami odpowiedni wyraz
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
Prawa strona równania jest trójmianem kwadratowym wobec tego będzie kwadratem
gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Po obliczeniu wyróżnika tego trójmianu może on nie być równy zero (na ogół nie jest)
więc należy wprowadzić nową zmienną aby uzależnić od niej ten wyróżnik
Zmienną należy wprowadzić tak aby lewa strona nadal była kwadratem
więc trzeba dodać stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na sumę
Po obliczeniu wyróżnika i przyrównaniu go do zera dostajemy równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej zmiennej
Po rozwiązaniu tego równania bierzemy jeden pierwiastek
Teraz gdy obie strony są kwadratami stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnice kwadratów
i otrzymujemy iloczyn dwóch trómianów

Innym podejściem do równań czwartego stopnia jest taka zabawa podstawieniami
aby otrzymać wzory Viete'a równania trzeciego stopnia