Kwadrat trójmianu kwadratowego

[saweh]

Wykaż, że dany wielomian można przedstawić w postaci kwadratu trójmianu kwadratowego.

\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x+2)(x+7)(x+8)+9}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x+2)(x+7)(x+8)+9=(x^2+9x+8)(x^2+9x+14)+9=(x^2+9x+8)((x^2+9x+8)+6)+9=?}\)

Nie wiem co dalej zrobić. Z innego sposobu wyszło mi \(\displaystyle{ (x^2+9x+11)^2}\)

[anna_]

Rób tym innym sposobem

[saweh]

Ale koniecznie muszę zrobić tym pierwszym sposobem.

[anna_]

\(\displaystyle{ (x+1)(x+2)(x+7)(x+8)+9=(x^2+9x+8)(x^2+9x+14)+9=(x^2+9x+8)((x^2+9x+8)+6)+9=(x^2+9x+8)^2+6(x^2+9x+8)+9=(x^2+9x+8)^2+2 \cdot 3(x^2+9x+8)+3^2=(x^2+9x+11)^2}\)

[saweh]

Możesz wytłumaczyć skąd wzięła ta część \(\displaystyle{ (x^2+9x+8)^2+6(x^2+9x+8)+9}\) i dalsza?

[anna_]

\(\displaystyle{ (x^2+9x+8)[(x^2+9x+8)+6]+9=(x^2+9x+8)^2+6(x^2+9x+8)+9}\)<- opuściłam nawias kwadratowy
\(\displaystyle{ =(x^2+9x+8)^2+2 \cdot 3(x^2+9x+8)+9}\)<--\(\displaystyle{ 6=2 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ =(x^2+9x+8)^2+2 \cdot 3(x^2+9x+8)+3^2}\)<--\(\displaystyle{ 9=3^2}\)
\(\displaystyle{ (x^2+9x+11)^2}\)<-- wzór na kwadrat sumy (\(\displaystyle{ a=x^2+9x+8,b=3}\))

[saweh]

Liczę teraz podobne zadanie o treści: Wykaż, że wielomian przybiera wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego.

\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+17}\)

\(\displaystyle{ (x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+17=(x^2-10x+16)(x^2-10x+24)+17=(x^2-10x+16)((x^2-10x+16)+8)+17=(x^2-10x+16)+4 \cdot 2(x^2-10x+16)+16+1=(x^2-10x+20)^2+1}\)

Wynik chyba wyszedł mi dobry, ale nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ ((x^2-10x+16)+8)}\) zamieniamy na \(\displaystyle{ 4 \cdot 2(x^2-10x+16)}\) - załóżmy, że z pierwszego nawiasu wychodzi \(\displaystyle{ 1 (1+8=9)}\), to teraz powinna zachodzić równość \(\displaystyle{ 9=9}\), a z drugiego wychodzi \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 \cdot 1=8}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ (x^2-10x+16)((x^2-10x+16)+8)+17 \neq (x^2-10x+16)+4 \cdot 2(x^2-10x+16)+16+1}\)

-- dzisiaj, o 16:54 --

\(\displaystyle{ (x^2-10x+16)((x^2-10x+16)+8)+17=(x^2-10x+16)^2+8(x^2-10x+16)+17=(x^2-10x+16)^2+2 \cdot 4(x^2-10x+16)+4^2+1=}\)

\(\displaystyle{ a=x^2-10x+16, b=4}\)

\(\displaystyle{ =(x^2-10x+20)^2+1>0}\)

Teraz jest ok

[saweh]

Dochodzę do tego miejsca

\(\displaystyle{ (x^2-10x+16)\left[ \left( x^2-10x+16\right)+8 \right] +17}\)

tworzę kwadrat pierwszego nawiasu \(\displaystyle{ (x^2-10x+16)^2}\) - skąd się wziął?

i zamieniam 8 na iloczyn 4 i 2 i stawiam przed nawias \(\displaystyle{ (x^2-10x+16)}\) - dlaczego?

17 zamieniam na sumę 16 i 1

16=4*4

4 dodaje do 16, czyli wychodzi \(\displaystyle{ (x^2-10x+20)^2 + 1}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ (x^2-10x+16)\left[ \left( x^2-10x+16\right)+8 \right] +17}\)
opuszczamy nawias kwadratowy
\(\displaystyle{ (x^2-10x+16) \cdot (x^2-10x+16)+8 \cdot (x^2-10x+16)+17=(x^2-10x+16)^2+8 \cdot (x^2-10x+16)+17}\)
Chcemy zastosować jakiś wzór skroconego mnożenia, w tym wypadku na kwadrat sumy
\(\displaystyle{ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\)
Tam musi być liczba \(\displaystyle{ 2}\), więc rozpisujemy \(\displaystyle{ 8=2 \cdot 4}\)
wynika stąd, że \(\displaystyle{ b}\) musi być równe \(\displaystyle{ 4}\) i dlatego zapisujemy \(\displaystyle{ 17=16+1=4^2+1}\)