Matematyka.pl

Rozłóż na czynniki w ciele liczb wymiernych wielomian \(\displaystyle{ x ^{5}-1}\).
Na początku można zapisać, że \(\displaystyle{ x^{5} -1= \left( x-1 \right) \left( x^{4}+x ^{3} +x ^{2}+x+1 \right)}\) i nie bardzo mogę sobie poradzić z rozłożeniem tego wielomianu 4 stopnia

Od biedy można skorzystać ze wzorów na pierwiastki równania czwartego stopnia choć już rozłożyłaś na czynniki.

Ten wielomian czwartego stopnia rozkłada się tak:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{4} \left( -2 x^2+ \left( \sqrt{5}-1 \right) x-2 \right) \left( 2 x^2+ \left( 1+\sqrt{5} \right) x+2 \right)}\)

Można pomyśleć, czy nie da się tego zamienić na współczynniki wymierne, ale raczej nie.

Dodam jedną z łatwych metod rozkładu (bo ma ,,symetryczne" współczynniki) - przyrównać go do

\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+1 \right) \left( x^2+bx+1 \right)}\) i wyznaczyć (a) i (b).

Można też tak:

\(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1 = 0 \Leftrightarrow 4x^4+4x^3 = - 4x^2-4x-4 \Leftrightarrow \left( 2x^2+x \right) ^2 = -3x^2-4x-4 \Leftrightarrow \left( 2x^2+x+y \right) ^2 = \left( 4y-3 \right) x^2+ \left( 2y-4 \right) x+y^2-4}\)

Teraz wystarczy zauważyć, że dla \(\displaystyle{ y=2}\) zeruje nam się współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) oraz w wyrazie wolnym w trójmianie po prawej stronie i dostajemy:

\(\displaystyle{ \left( 2x^2+x+2 \right) ^2 = 5x^2 \Leftrightarrow \left( 2x^2+ \left( 1-\sqrt{5}x \right) +2 \right) \left( 2x^2+ \left( 1+\sqrt{5} \right) x+2 \right) = 0}\)

Czyli \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1 = \left( x^2+ \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) x+1 \right) \left( x^2+ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) x+1 \right)}\)

Pytanie było o rozkładanie na czynniki wymierne.
Więc albo trzeba takie przedstawienie pokazać, albo dowieść, że jest nierozkładalny nad Q.

Rogal pisze:Pytanie było o rozkładanie na czynniki wymierne.
Więc albo trzeba takie przedstawienie pokazać, albo dowieść, że jest nierozkładalny nad Q.

Wiemy, ale na razie udało nam się znaleźć rozkład nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Teraz będziemy się zastanawiać nad tym, jak udowodnić, że to nie rozkłada się nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), być może właśnie rozkład nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nam w tym pomoże

na razie udało nam się znaleźć rozkład nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

Na razie, to udało Wam się rozłożyć ten wielomian na dwa trójmiany kwadratowe

Można zastosować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, aby stwierdzić, że ich nie ma. Mam na myśli oczywiście wielomian 4-ego stopnia.


\(\displaystyle{ x ^{5} -1 = 0}\)
Rozwiązaniem tego równania są pierwiastki 5-ego stopnia z jedności. Tylko jeden jest rzeczywisty.

Jeszcze jedna możliwość to wykorzystać fakt, że funkcja \(\displaystyle{ W(x) = x ^{5} -1}\) jest monotoniczna.

Niestety, ani brak istnienia pierwiastków wymiernych, ani ścisła monotoniczność tego wielomianu nie dowodzą, że się nie rozkłada nad wymiernymi.
Kolejna podpowiedź - kryterium Eisensteina.

korzystając z kryterium Eisensteina za \(\displaystyle{ x}\) podstawiamy \(\displaystyle{ x+1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{4}+5 x^{3}+10x ^{2} +10x+5}\) i z kryterium jest on nieprzewiedlny nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\). A jak będzie gdy mamy szukąć w ciele \(\displaystyle{ \mathbb R}\), czy wystarczy ten rozkład na dwa trójmiany?

Tak, o ile pokażesz jeszcze, że te dwa trójmiany są nieprzywiedlne nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\)

No tak czyli jeśli delta każdego trójmianu będzie mniejsza od 0, to będzie on nieprzywiedny?

No tak by to było.