Działania na wielomianach (dwa zadania)

[Lukii]

Dzięki za zrobienie pozdrawiam.

[luka52]

a).
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(x^2-x-4)+2=x^3-x^2-4x-x^2+x+6=x^3-2x^2-3x+6}\)
b).
\(\displaystyle{ x^3-2x^2-3x+6 = x^2(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x^2-3) = (x-2)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}\)
c).
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} + \frac{1}{3}+\frac{1}{3} = \frac{1}{4}+\frac{2}{3} = \frac{11}{12}}\)

[PFloyd]

2)
a)\(\displaystyle{ W(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{4}-3(\sqrt{2})^{3}+(\sqrt{2})^{2}+3\sqrt{2}-2=4-6\sqrt{2}+2+3\sqrt{2}-2=4-3\sqrt{2}}\)
b)\(\displaystyle{ W(1)=0}\)
z tego wynika że jest podzielny przez x-1
c)\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)Q(x)+a\\
W(3)=a=16}\)
reszta to 16
d)\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^{3}(x+1)}\)
ma dwa rówżna pierwiastki

3)
a)\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-5x^{3}+11x^{2}+dx+30\\
W(3)=0=81-135+99+3d+30\\
d=-25}\)
b)\(\displaystyle{ (w(x)=(x-3)(x-2)(x^{2}+5)\\
x=3\,\vee \,x=2}\)

4)
a)W(2)=0 i W(-1)=0
otrzymujemy układ równań:
2a+b=7
-a+b=1
czyli a=2 b=3
b)\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}+3x^{2}-9x-10=(x+1)(x-2)(2x+5)\\
\frac{1}{2^{2}+1+\frac{25}{4}}=\frac{4}{45}}\)


5)
P(2)=0
Q(2)=0
a) są podzielne
b) \(\displaystyle{ P(y)+Q(y)=y^{3}-8y+8+y^{3}-3y^{2}+4=2y^{3}-3y^{2}-8y+12=y^{2}(2y-3)-4(2y-3)=(2y-3)(y+2)(y-2)}\)