Pomysł na wielomian - sprawdzenie

[bakala12]

Mam wykazać że wielomian
\(\displaystyle{ x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+ \frac{3}{4}}\)
nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Dla \(\displaystyle{ x in (- infty ,0] cup [1,+ infty )}\) sprawa jest banalna. Niech teraz \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)
Sprowadzam wielomian do postaci:
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{4}+x^{2}+1)-x(x^{4}+x^{2}+1)+ \frac{3}{4}}\)
Robię podstawienie \(\displaystyle{ t=x^{4}+x^{2}+1}\), oczywiście \(\displaystyle{ t \in (1,3)}\)
Liczę deltę
\(\displaystyle{ \Delta=t^{2}-3t}\)
W oczywisty sposób dla \(\displaystyle{ t \in (1,3)}\) \(\displaystyle{ \Delta<0}\), co oznacza że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)

Czy moja metoda jest poprawna?

[Marcinek665]

Dobrze <ok>. Tylko gdyby to była jakakolwiek praca pisemna (sprawdzian/konkurs/whatever), to poleciałyby Ci punkty za nieuzasadnienie pierwszego przypadku, ale chyba byś o to zadbał.

Proponuję podobne zadanie i nieco 'ogólniejsze':

Wykaż, że wielomian:

\(\displaystyle{ W(x) = 2x^{2n} - x^{2n-1} + 2x^{2n-2} - x^{2n-3} + ... + 2x^2 - x + \frac{n}{8}}\), oczywiście \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\)

Nie ma pierwiastków rzeczywistych.

A tak z ciekawości - jesteś teraz w drugiej klasie czy w maturalnej?

[bakala12]

w drugiej i szykuje się na OM

[Vax]

Można to udowodnić trochę inaczej (oczywiście \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\)):

\(\displaystyle{ x^6+x^4+x^2+\frac{3}{4} \ge x^5+x^3+x \Leftrightarrow 4x^6+4x^4+4x^2+3 \ge 4x(x^2-x+1)(x^2+x+1) \Leftrightarrow (x^2+x+1)(4x^4-4x^3+4x^2)+3 \ge 4x(x^2-x+1)(x^2+x+1) \Leftrightarrow (x^2+x+1)(4x^4-8x^3+8x^2-4x) \ge -3}\)

Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 1 \le x^2+x+1 \le 3}\) oraz \(\displaystyle{ 4x^4-8x^3+8x^2-4x \ge -1 \Leftrightarrow (2x^2-2x+1)^2 \ge 0}\) więc minimum lewej strony wynosi \(\displaystyle{ 1\cdot (-3) = -3}\)

[bakala12]

Odnośnie zadania ogólniejszego to zrobiłem coś takiego:
Dla \(\displaystyle{ x in (- infty ;0] cup [ frac{1}{2};+ infty )}\) zadanie jest banalne. Niech \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{1}{2})}\)
Przekształcam do postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{2}( \sum_{i=0}^{2n-2}x ^{i} )-x(\sum_{i=0}^{2n-2}x ^{i})+ \frac{n}{8}}\)
Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=\sum_{i=0}^{2n-2}x ^{i}}\)
I mam trójmian \(\displaystyle{ 2tx^{2}-tx+ \frac{n}{8}}\)
Liczę Deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=t^{2}-nt=t(t-n)}\)
W sposób oczywisty \(\displaystyle{ t>0}\) oraz \(\displaystyle{ t<2}\), ponadto \(\displaystyle{ n>1}\), więc \(\displaystyle{ \Delta<0}\) i ten wielomian nie ma pierwiastków w przedziale \(\displaystyle{ (0; \frac{1}{2} )}\)

Oczywiście pamiętam o uzasadnieniu pierwszego przypadku.

[Vax]

Można inaczej (źle zapisałeś sumę, ale to chyba literówka):

\(\displaystyle{ 2x^{2} \sum_{i=0}^{n-1}x ^{2i} -x\sum_{i=0}^{n-1}x ^{2i}+ \frac{n}{8} = x(2x-1)\sum_{i=0}^{n-1}x^{2i} + \frac{n}{8} > -\frac{1}{6}\sum_{i=0}^{n-1}x^{2i} + \frac{n}{8} > -\frac{1}{4} + \frac{n}{8} \ge 0 \Leftrightarrow n \ge 2}\)
Co jest zgodne z założeniem.