Pierwiastki równania

[trzebiec]

Równanie\(\displaystyle{ x ^{n} + x ^{n-1} + x ^{n-2} + ... + x + 1 = 0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) dla\(\displaystyle{ n \in C _{+}}\):

A. ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty dla każdej nieparzystej liczby n
B. nie ma pierwiastków rzeczywistych, gdy n jest liczbą parzystą
C. może mieć pierwiastek dodatni.
D. może mieć pierwiastek będący liczbą niewymierną

Poprawne odpowiedzi to A i B. Czy mógłby ktoś pomóc w dojściu do takich wniosków? Z góry dziękuję.

[aalmond]

lewa strona to suma szeregu geometrycznego

[trzebiec]

fakt! zobaczę co z tym się da zrobić

-- 2 sie 2011, o 11:12 --

\(\displaystyle{ S _{n+1}}\) liczę, prawda?Bo wyrazów jest tyle ile wynosi potęga n + ta jedynka na końcu czyli potęga zerowa. w takim razie\(\displaystyle{ S _{n+1} = \frac{x ^{n}(1- \frac{1}{x} ^{n+1}) }{1- \frac{1}{x} }}\)

co dalej?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}}\)

[Dasio11]

Chwileczkę. \(\displaystyle{ x=1}\) nie jest pierwiastkiem w żadnym wypadku - to widać. Dopiero dla \(\displaystyle{ x \neq 1}\) zachodzi wzór, o którym piszesz:

\(\displaystyle{ S_{n+1} = \frac{x^n \left( 1 - \left( \frac{1}{x} \right)^{n+1} \right)}{1- \frac{1}{x}} = \frac{x^n-1}{x-1}}\)

Więc \(\displaystyle{ x^n+x^{n-1} + \cdots + x + 1 = 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{x^n-1}{x-1} = 0.}\)

A kiedy zachodzi ta druga równość?


P.S. Żeby zinterpretować początkowy wielomian jako sumę skończoną ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) (jak ty to czynisz), należałoby jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ x \neq 0.}\) Wyjątek ten można pominąć, jeśli przyjąć \(\displaystyle{ a_1=1, \ q=x,}\) i skorzystać ze wzoru, który napisał kamil13151. Sprowadzi się to dokładnie do tego samego, lecz będzie można pominąć założenie \(\displaystyle{ x \neq 0.}\)