Matematyka.pl

trzeba podac takie t aby wielomian równał sie 8
\(\displaystyle{ P(t)=2t(6-t^{2})=12t-2t^{3}\\
czyli\\
-2t^{3}+12t=8\\
t^{3}-4t-2t+4=0}\)
jest to wzór na pole prostokąta, gdzie dolne wierzchołki prostokąta są oparte na osi OX (lewy wierzchołek to -t a prawy to t) a górne należą do paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=6-x^{2}}\)

mam jeszcze obliczyć dziedzinę tej funkcji, ale nie bardzo wiem jak sie do tego wszystkiego zabrać

\(\displaystyle{ t^3-6t+4=0}\)

Wskazówka:

\(\displaystyle{ t^3-6t+4=(t-2)(t^2+2t-2)}\)

-- 25 lip 2011, o 16:57 --

Jeżeli chodzi o dziedzinę, to jeżeli prawy, dolny wierzchołek ma współrzędną \(\displaystyle{ (t;0)}\), to znaczy, że współrzędna t jest większą od zera ale mniejsza niż punkt przecięcia paraboli z osią OX.

mi wychodzi, ze aby wielomian rownal sie 8 to t =2 lub \(\displaystyle{ t=\frac{-2-\sqrt{8}}{2}}\), w ksiazce jest troche inaczej. nie wiem gdzie jest blad

\(\displaystyle{ t^3-6t+4=0}\)

Miejscami zerowymi tego równania są liczby \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ \sqrt{3}-1}\), \(\displaystyle{ -1- \sqrt{3}}\).

kamil13151 pisze:\(\displaystyle{ t^3-6t+4=0}\)

Miejscami zerowymi tego równania są liczby \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ \sqrt{3}-1}\), \(\displaystyle{ -1- \sqrt{3}}\).

no i tak jest w książce, tylko, że ja nie wiem gdzie popelnilam blad

W równaniu kwadratowym, a dokładniej to w delcie.

\(\displaystyle{ t^2+2t-2=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta =2^2-4(-2)=12}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2 \sqrt{3}}\)

1. Przecież dla czynnika \(\displaystyle{ t^2+2t-2}\) masz dwa różne pierwiastki (źle obliczyłaś deltę, bo powinno być 12)

2. Nie napisałaś oryginalnej treści zadania a z poprawnej (podanej przez Ciebie z książki) odpowiedzi wynika, że jest ona inna niż zasugerowałaś w Twoim poście ponieważ:

a) punkty na osi nie muszą być - jak napisałaś - dolnymi wierzchołkam prostokąta.
Dla \(\displaystyle{ t=-1- \sqrt{3}}\) są to wierzchołki górne.

b) w związku z punktem a) wzór na pole powierzchni \(\displaystyle{ P(t)}\) powinien uwzględniać znaki współrzędnych punktów będących wierzchołkami prostokąta. Te dwa czynniki to przecież długości boków prostokąta a te muszą być dodatnie (należałoby więc ująć je w znaki wartości bezwzględnej). Akurat w tym konkretnym przypadku zarówno wartość \(\displaystyle{ t}\) jak i \(\displaystyle{ y(t)}\) są ujemne a więc - szczęśliwie - ich iloczyn jest dodatni.

c) w związku z a) i b) moja wcześniejsza uwaga dotycząca dziedziny jest nieaktualna - t może przyjąć dowolną wartość z wyjątkiem zera oraz miejsc zerowych paraboli (bo wówczas długość jednego z boków prostokąta byłaby zerowa).

są dolnymi, nawet jesli to co? pomogli mi rozwiazac zadanie i tak, czyz nie? te dane o ktore ci chodzi sa tu zbedne, tak mi sie wydaje. no i chyba jest to potwierdzone wykonaniem zadania. pozdrawiam -- 25 lip 2011, o 20:08 --acha, co do a i b. to moze rzeczywiscie nie musza. w zadaniu jest że są. wiec napisalam , ze sa. dziekuje za pomoc w rozwiazaniu zadania. tak, zle obliczam delte, poraz kolejny.

mejolga pisze:są dolnymi, nawet jesli to co?

mejolga pisze:acha, co do a i b. to moze rzeczywiscie nie musza. w zadaniu jest że są. wiec napisalam , ze sa.

Jeżeli w oryginalnym zadaniu masz napisane, że wierzchołki na osi OX są dolnymi wierzchołkami prostokąta, to \(\displaystyle{ t=-1- \sqrt{3}}\) nie jest rozwiązaniem tego zadania bo dla tej wartości t współrzędne y punktów nie leżących na osi OX są równe:

\(\displaystyle{ y=6-\left( -1- \sqrt{3}\right)^2=2-2 \sqrt{3}}\)

Jak widzisz jest to wartość ujemna, czyli leżąca poniżej osi OX (tym samym wierzchołki na osi OX są górnymi wierzchołkami prostokąta)

mejolga pisze:pomogli mi rozwiazac zadanie i tak, czyz nie?

Tak pomogliśmy Ci je rozwiązać, ale myślałem, że chodzi Ci też o jego zrozumienie a nie tylko o otrzymanie w wyniku rachunków takich liczb jakie są w odpowiedzi.

mejolga pisze:te dane o ktore ci chodzi sa tu zbedne, tak mi sie wydaje.

Nie wiem o których danych piszesz? Miałem na myśli dokładną treść zadania. Wbrew temu co sugerujesz, to informacja o tym czy punkty na osi OX są "dolnymi" wierzchołkami czy też nie jest istotna, bo od tego zależy poprawne rozwiązanie zadania. W pierwszym przypadku istnieją dwa prostokąty spełniające warunki zadania a w drugim przypadku trzy.

mejolga pisze:no i chyba jest to potwierdzone wykonaniem zadania.

Co jest potwierdzone?

chyba zle sie zrozumielismy, pomogliscie mi zrozumiec zadanie. w ksiazce jest rysunek z prostokatem nad osia OX. byc moze w ksiazce jest to zle napisane o to sie juz nie kloce, bo nie wiem. a z tym potwierdzeniem to chodzilo mi tylko i wylacznie o rownanie pola i wartosc t, gdybym napisala cale zadanie to czytajacy skupilby sie nie na tym czego ja nie rozumiem a na tym co juz zrozuzmialam. wydaje mi sie , ze napisalam wystarczajaco by to bylo zrozumiale, gdyz zostalo ono rozwiazane. a te punkty t to jak napisalam wyzej podalam takie jakie mi wyszly i napisalam, ze sa zle. nie wiedzialam dlaczego. oczywiscie to byl maly blad. pozdrawiam.

OK.
Rysunek jeżeli jest, to musi być jakiś konkretny ale ważna jest także treść. Zauważ, że jeżeli prostokąt może być dowolny, to nie mając rozwiązania nie wiesz jakie wartości współrzędnych (dodatnie czy ujemne) będą miały jego wierzchołki. Wówczas może się zdarzyć (tutaj akurat tak nie jest, ale widać to dopiero po rozwiązaniu zadania), że wartość pola wyszła by ujemna. Np. dla t=3, y=3 i pole powierzchni wynosi 18. Natomiast wg podanej przez Ciebie funkcji byłoby:

\(\displaystyle{ P(3)=12 \cdot 3-2 \cdot 3^3=36-54=(-18)}\)

Dlatego też - w takiej sytuacji, gdy nie ma w zadaniu dodatkowych warunków - wzór na pole powierzchni należałoby napisać taki:

\(\displaystyle{ P(t)=2\left| t\right| \cdot \left| 6-t^2\right| =\left| 12t-2t^3\right|}\)

I właśnie o to chodziło mi w powyższych postach.

niestety, w rozwiązaniu w książce jest podana funkcja bez wartości bezwzględnej. czy to nie dlatego, że jest to wzor na pole? znaczy sie, że oczywiste chyba jest to, że dlugosci bokow są dodatnie?

Oczywiście, że długości boków są zawsze dodatnie, ale zauważ, że wg wzoru bez wartości bezwzględnych długości boków to odpowiednie współrzędne punktów a te nie muszą być przecież dodatnie.
Np. długość boku "pionowego" to wartość funkcji \(\displaystyle{ y=6-x^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=t}\) i dla rozwiązania \(\displaystyle{ t=-1- \sqrt{3}}\) wynosi ona:

\(\displaystyle{ y=6-\left( -1- \sqrt{3}\right) ^2=2-2 \sqrt{3}}\)

czyli jest ujemna (?!)

Akurat dla konkretnych danych liczbowych z tego zadania składa się tak szczęśliwie, że "długość" drugiego boku, czyli \(\displaystyle{ 2t}\) także wychodzi ujemna i tym samym pole wychodzi dodatnie. Gdyby jednak były inne dane liczbowe np. pole miałoby być równe 18, to wówczas pole powierzchni wyliczone wg wzoru bez wartości bezwzględnej wyszłoby ujemne (tak jak w przykładzie w poprzednim moim poście), bo dla t=3 podstawiamy do wzoru na pole powierzchni "długości" równe \(\displaystyle{ 2t=6}\) oraz \(\displaystyle{ 6-t^2=(-3)}\).

ok, czyli wszystko ok? tak?

Przeczytaj uważnie poprzedni post (uzupełniłem zapis).

Powiem tak: formalnie nie jest OK, bo do wzoru na pole powierzchni jest wstawiana jako długość boku (która może być tylko dodatnia) współrzędna punktu (która może mieć także wartości ujemne).

Akurat dla tych konkretnych danych liczbowych które są w treści zadania ujemne wartości współrzędnych są dla obydwu boków prostokąta, co w efekcie daje dodatnią wartość pola powierzchni. Jednak można powiedzieć, że jest to przypadkowa zbieżność dająca poprawny liczbowy wynik.
Dla innych danych (jedna wartość ujemna i jedna dodatnia) wartość pola wyliczona z tego wzoru byłaby ujemna, czyli niepoprawna.