Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ x^{60}-1}\) jest podzielny przez wielomian\(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}\).
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Z góry dziękuję za pomoc.
Podzielność wielomianu
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Podzielność wielomianu
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\\
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}\)
Jeśli więc wykażesz, że dany wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x^3-1}\) i przez \(\displaystyle{ x^5-1}\), to tym bardziej będzie się dzielił przez to co trzeba. Ale to już nietrudne, bo oczywiście wielomian \(\displaystyle{ t^{20}-1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (t-1)}\), co oznacza, że:
\(\displaystyle{ t^{20}-1=(t-1)\cdot V(t)}\)
dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V}\) (który zresztą łatwo wyznaczyć).
Jeśli podstawimy do tej równości \(\displaystyle{ t=x^3}\) to dostaniemy:
\(\displaystyle{ x^{60}-1=(x^3-1)\cdot V(x^3)}\)
skąd
\(\displaystyle{ (x^3-1)|(x^{60}-1)}\)
Analogicznie z podzielnością przez \(\displaystyle{ x^5-1}\).
Q.
\(\displaystyle{ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\\
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}\)
Jeśli więc wykażesz, że dany wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x^3-1}\) i przez \(\displaystyle{ x^5-1}\), to tym bardziej będzie się dzielił przez to co trzeba. Ale to już nietrudne, bo oczywiście wielomian \(\displaystyle{ t^{20}-1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (t-1)}\), co oznacza, że:
\(\displaystyle{ t^{20}-1=(t-1)\cdot V(t)}\)
dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V}\) (który zresztą łatwo wyznaczyć).
Jeśli podstawimy do tej równości \(\displaystyle{ t=x^3}\) to dostaniemy:
\(\displaystyle{ x^{60}-1=(x^3-1)\cdot V(x^3)}\)
skąd
\(\displaystyle{ (x^3-1)|(x^{60}-1)}\)
Analogicznie z podzielnością przez \(\displaystyle{ x^5-1}\).
Q.
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Podzielność wielomianu
Można też po prostu rozłożyć wielomian:
\(\displaystyle{ x^{60}-1=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{30}-1 \right)=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{15}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{12}+x^9+x^6+x^3+1 \right)\left( x ^{3}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{12}+x^9+x^6+x^3+1 \right)\left( x -1 \right)\left( x^2+x+1\right) =\\=W\left( x\right) \cdot \left( x^2+x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ x^{60}-1=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{30}-1 \right)=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{15}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{10}+x^5+1 \right)\left( x ^{5}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{10}+x^5+1 \right)\left( x -1 \right)\left(x^4+x^3+ x^2+x+1\right) =\\=P\left( x\right) \cdot \left(x^4+x^3+ x^2+x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ x^{60}-1=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{30}-1 \right)=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{15}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{12}+x^9+x^6+x^3+1 \right)\left( x ^{3}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{12}+x^9+x^6+x^3+1 \right)\left( x -1 \right)\left( x^2+x+1\right) =\\=W\left( x\right) \cdot \left( x^2+x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ x^{60}-1=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{30}-1 \right)=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{15}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{10}+x^5+1 \right)\left( x ^{5}-1 \right)=\\=\left( x ^{30}+1 \right)\left( x ^{15}+1 \right)\left( x ^{10}+x^5+1 \right)\left( x -1 \right)\left(x^4+x^3+ x^2+x+1\right) =\\=P\left( x\right) \cdot \left(x^4+x^3+ x^2+x+1\right)}\)