udowodnij, że wielomian...

[me123]

Wielomian \(\displaystyle{ p(x)=x ^{3}+ax ^{2}+bx+c}\)ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste. Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ q(x)=x ^{3}-bx ^{2} +acx-c ^{2}}\) ma co najmniej jeden pierwiastek nieujemny.

wydaje mi się, że tym pierwiastkiem może być \(\displaystyle{ x _{1} ^{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p(x)=(x-x _{1})(x-x _{2} )(x-x _{3})}\)

gdy policzymy (przy użyciu wzorów Viete'a dla \(\displaystyle{ p(x)}\))
\(\displaystyle{ q(x _{1} ^{2})=x _{1} ^{2}(x _{1}-x _{2} )(x _{1} ^{2}-x _{2}x _{3})(x _{1} -x _{3})}\)
jednak nawet nie wiem, czy to moje liczenie do czegoś prowadzi...

byłabym wdzięczna chociaż za jakąś wskazówkę...

[Rogal]

Nie jestem pewien, czy będzie to \(\displaystyle{ x_{1}^{2}}\). Patrząc na wielomian q i współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) można by pomyśleć, że pierwiastkami wielomianu q będą liczby:
\(\displaystyle{ z_{1} = x_{1} x_{2}, \ z_{2} = x_{2} x_{3}, \ z_{3} = x_{3} x_{1}}\),
co na moje oko potwierdzają dalsze współczynniki - użyj wzorów Viete'a do potwierdzenia tej teorii.
A jak stąd wynika, że na pewno któryś jest nieujemny? A to sobie pomyśl, bo to nietrudne.

[Mortify]

Albo można trochę bardziej siłowo:

\(\displaystyle{ q(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\) i porównując współczynniki dostajemy:

\(\displaystyle{ c^2=x_1x_2x_3}\), a stąd dostajemy, że co najmniej 1 ma być nieujemny.

W sumie Rogal napisał prawie to samo

[me123]

ehhh faktycznie nie trudne, się uprę na coś, to nie widzę innych możliwości, dzięki