Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) rownanie ma cztery rozne pierwiastki?
\(\displaystyle{ x ^{4} +mx ^{2}+1=0}\)
pierw \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ t}\) zamienilem i wyliczylem delte
wychodzi mi \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 2; \infty \right)}\)
a powinna byc odpowiedz zadania \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;-2\right)}\)
dlaczego??
Znajdz pierwiastki
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Znajdz pierwiastki
Jak liczyłeś? Uwzględniłeś to, że pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) muszą być większe od zera?
-
- Użytkownik
- Posty: 348
- Rejestracja: 10 paź 2010, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: sinus
- Pomógł: 1 raz
Znajdz pierwiastki
Czyli jeszcze musze obliczyc dziedzine iloczynu pierwiastkow dodatnich i sume pierwiastkow dodatnich
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Znajdz pierwiastki
Podstawiłeś:
\(\displaystyle{ t=x^2}\)
otrzymując równanie:
\(\displaystyle{ t^2+mt+1}\).
Szukasz teraz takich \(\displaystyle{ m}\), żeby to równanie miało dwa różne nieujemne pierwiastki - ujemne nie dadzą rozwiązań wyjściowego równania. Ze wzorów Viete wynika, że albo oba są ujemne, albo oba są dodatnie, więc wystarczy wyznaczyć takie \(\displaystyle{ m}\), że wierzchołek paraboli leży na prawo od osi Y. Wierzchołek leży w punkcie będącym rozwiązaniem równania (liczymy pochodną)
\(\displaystyle{ 2t+m=0}\)
skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ m<0}\).
Dwa różne pierwiastki mamy wtedy, i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ m^2-4>0}\)
co w połączeniu z \(\displaystyle{ m<0}\) daje:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty,-2)}\)
\(\displaystyle{ t=x^2}\)
otrzymując równanie:
\(\displaystyle{ t^2+mt+1}\).
Szukasz teraz takich \(\displaystyle{ m}\), żeby to równanie miało dwa różne nieujemne pierwiastki - ujemne nie dadzą rozwiązań wyjściowego równania. Ze wzorów Viete wynika, że albo oba są ujemne, albo oba są dodatnie, więc wystarczy wyznaczyć takie \(\displaystyle{ m}\), że wierzchołek paraboli leży na prawo od osi Y. Wierzchołek leży w punkcie będącym rozwiązaniem równania (liczymy pochodną)
\(\displaystyle{ 2t+m=0}\)
skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ m<0}\).
Dwa różne pierwiastki mamy wtedy, i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ m^2-4>0}\)
co w połączeniu z \(\displaystyle{ m<0}\) daje:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty,-2)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Znajdz pierwiastki
Ze wzorów Viete'a iloczyn pierwiastków jest zawsze równy 1
Suma pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ \frac{-m}{2}}\). Aby były cztery różne rozwiązania równania wyjściowego, iloczyn i suma pierwiastków równania kwadratowego muszą być dodatnie. Ponadto delta większa od zera. Z delty mamy że \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-2) \cup (2; \infty )}\), zaś z sumy pierwiastków mamy \(\displaystyle{ m<0}\). Stąd odpowiedź to \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-2)}\)
Suma pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ \frac{-m}{2}}\). Aby były cztery różne rozwiązania równania wyjściowego, iloczyn i suma pierwiastków równania kwadratowego muszą być dodatnie. Ponadto delta większa od zera. Z delty mamy że \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-2) \cup (2; \infty )}\), zaś z sumy pierwiastków mamy \(\displaystyle{ m<0}\). Stąd odpowiedź to \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-2)}\)