Matematyka.pl

oblicz maksymalną wartość funkcji f(x)=\(\displaystyle{ \frac{x}{2x+x^2+1}}\)

Pochodną najpierw policz

Pochodną najpierw policz

a czasem nie wyjdzie w ten sposób, że maksymalna wartość będzie gdy wartość \(\displaystyle{ x ^{2}+2x+1}\) będzie najmniejsza

Jesli tak to z pochodnej to wyjdzie. Ja bym jednak przez pochodną patrzył, bo mamy jeszcze \(\displaystyle{ x}\) w liczniku

ale w sensie że po prostu to raz zróżniczkować?

-- 4 lip 2011, o 16:24 --

bo pochodna z tego to o ilę się nie mylę wynosi \(\displaystyle{ \frac{1-x}{(x+1)^3}}\)

Owszem. \(\displaystyle{ D_{f \prime}=D_f}\). Zatem wystarczy znaleźć miejsce zerowe i sprawdzić, czy spełnia warunek bycia maksimum globalnym.

nie łapię, bo miejsce zerowe skoro tak to 1 , więc max to też 1?

miejsce zerowe pochodnej to \(\displaystyle{ x=1}\). Teraz patrzysz czy pochodna zmienia znak w 1. Jeśli tak to x=1 jest ekstremum funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\). Żeby wyznaczyć tą wartość ekstremalną liczysz \(\displaystyle{ f(1)}\)

No i należałoby sprawdzić, czy jeśli jest ekstremum, to lokalne czy globalne (Ciebie interesuje globalnym), no i przede wszystkim, czy to minimum, czy maksimum.

Zawsze można nie pójść schematem i zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{x}{(x+1)^2} = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}(\frac{x-1}{x+1})^2}\) skąd jasno wynika, że funkcja swoje maksimum równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przyjmie dla \(\displaystyle{ x=1}\)