Pierwiastek w ciele wielomianu.

[Renah]

Pytanie o poprawne zrozumienie ;p

Wielomian \(\displaystyle{ f(x)= x^{2} +2x+1}\) posiada przynajmniej jeden pierwiastek w ciele:
A. liczb zespolonych C
B. liczb rzeczywistych R
C. \(\displaystyle{ Z_{5}}\)z reszt modulo 5

Wątpliwość jest taka, po wyliczeniu wychodzi, że delta równa jest 0, więc powinnam policzyć pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}}\) i wychodzi on równy -1, czyli liczba zespolona. Czy waszym zdaniem w pytaniu chodzi właśnie o ten pierwiastek czy o coś innego ? ;p I proszę o objaśnienie.

[mateuszek89]

wszystkie odpowiedzi są poprawne. pozdrawiam!

[Renah]

Dziękuję, ale gdybyś mógł mniej więcej objaśnić dlaczego to będę wdzięczna.

[mateuszek89]

ma pierwiastek w ciele liczb zespolonych to jest oczywiste, bo jest to wielomian. Jest to funkcja kwadratowa więc możesz sprawdzić czy ma pierwiastek w ciele liczb rzeczywistych. Liczysz deltę wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) więc ma. W ciele \(\displaystyle{ Z_5}\) wystarczy sprawdzić \(\displaystyle{ f(0),f(1),f(2),f(3),f(4)}\) i okazuję się, że \(\displaystyle{ f(4)=0}\).Uwaga. Ogólnie w ciele \(\displaystyle{ Z_p}\) dla sprawdzenia czy wielomian ma pierwiastek w tym ciele wystarczy sprawdzić wartości \(\displaystyle{ f(0),\ldots,f(p-1)}\). Pozdrawiam!

[Renah]

Dziękuję.

[Vax]

Nawet nie trzeba sprawdzać wszystkich możliwości, skoro \(\displaystyle{ f(x) = (x+1)^2}\) to w ciele \(\displaystyle{ Z_5}\) dana funkcja ma pierwiastek równy \(\displaystyle{ x+1=0 \Leftrightarrow x=4}\)

[Renah]

czyli do wzoru funkcji podstawiam po kolei 0,1,2,3 i 4 tak? Podstawiając 4 nie wychodzi mi jednak 0...

[mateuszek89]

jeśli \(\displaystyle{ f(x)=(x+1)^2}\) to w ciele \(\displaystyle{ Z_5}\) dla \(\displaystyle{ x=4}\) mamy \(\displaystyle{ f(4)=(4+1)^2=0^2=0}\).