Wielomiany n>2

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 27 cze 2011, o 11:50

Witam. Mam pytanie dotyczące wielomianów stopnia 3 i wyższych. Czy istnieją jakieś wzory (takie na przykład jak wzory Vieta do równań kwadratowych) pomagające wyliczyć pierwiastki tegoż równania. Czytałem coś na Wiki, ale nie jest to zbyt zrozumiałe dla mnie. Jeśliby ktoś znalazł chwilkę, mógłby mi wyjaśnić szczegółowo jak znajdywać pierwiastki takich wielomianów [najlepiej na przykładach]. Byłbym bardzo wdzięczny... Jeśli mój temat umieściłem w złym dziale-przepraszam. Z góry dziękuje za jakieś podpowiedzi i odpowiedzi nawiązujące do powyższego tekstu...

Vax · Post autor: **Vax** » 27 cze 2011, o 11:53

Do równań sześciennych masz wzory Cardano, do równań czwartego stopnia istnieje m.in metoda Ferrariego, do wielomianów stopnia > 4 nie istnieją ogólne wzory dające pierwiastki.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 27 cze 2011, o 12:00

A zna ktoś jakąś stronkę na której to znajde??? (i no proszęo taką, aby było wszystko dokładnie opisane)

Adifek · Post autor: **Adifek** » 27 cze 2011, o 12:01

Istnieją wzory do rozwiązania oraz . Dla równań wyższych rzędów takie wzory nie istnieją. Jednak jako student matematyki nie znam nikogo, kto by te wzory stosował W równaniach trzeciego stopnia zazwyczaj najpierw trzeba zgadnąć jeden z pierwiastków, a następnie zejść (poprzez dzielenie wielomianów) do równania kwadratowego. W równaniu czwartego stopnia podobnie. Oczywiście najfajniejsze są szczególne przypadki, takie jak np. [url=http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_dwukwadratowe#R.C3.B3wnanie_dwukwadratowe]równanie dwukwadratowe[/url], które się bardzo szybko liczy

Vax · Post autor: **Vax** » 27 cze 2011, o 12:09

W tym pdf'ie masz pokazane jak rozwiązywać ogólne równania 3 i 4 stopnia:

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

piti-n · Post autor: **piti-n** » 27 cze 2011, o 14:32

Gdzieniegdzie można grupawaniem wyrazów i wyciąganiem przed nawias

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 28 cze 2011, o 17:02

Mam jeszcze jedno pytanie. Mamy wielomian :

\(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}+6x ^{2}+12x+8}\)
Całkowitymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) mogą być całkowite dzielniki \(\displaystyle{ 8}\) tj. \(\displaystyle{ 8, -8, 4, -4, 2, -2, 1, -1}\).
Czy ta zasada dotyczy wszystkich wielomianów o wyższych stopniach potęgowych????

Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma całkowitych pierwiastków to szukamy wymiernych, które również są dzielnikami (tym razem wymiernymi) wyrazu wolnego ????

Jeżeli znajdziemy już pierwiastek, to dzielimy \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian (i właśnie, jaką postać ma ten dwumian)???

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 28 cze 2011, o 17:11

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych:

Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to jest on ilorazem całkowitego dzielnika wyrazu wolnego i całkowitego dzielnika wyrazu przy najwyższej potędze.

Twierdzenie Bezout:

Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem wielomianu, wielomian ten dzieli się przez dwumian liniowy \(\displaystyle{ x-p}\).