Dowód do twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu

[Karol_Iwan]

Prosiłbym was o podanie mi dowodu do twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych,Twierdzenie brzmi tak:
"Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastki wymierne w postaci nieckracalnego ułamka \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest podzielnikiem całkowitym \(\displaystyle{ A_0}\) (wyraz wolny), zaś \(\displaystyle{ q}\) jest podzielnikiem całkowitym współczynnika \(\displaystyle{ A_n}\) (wyraz przy najwyższej potędze)
\(\displaystyle{ W(X)= A_n \cdot X^n+A_{n-1} \cdot x^{n-1}+\ldots+A_1 \cdot x+A_0}\)


Prosze pomóżcie gdyż ten dowód jest charytatywny dla kumpla który bardzo potrzebuje oceny bdb z tego dowodu:) ja nie wiem jak wymyśleć dowód

[Tomo]

zalozenia i teze to sobie sam napiszesz, a dowód:
z założenia, że \(\displaystyle{ W\left( \frac{p}{q} \right)=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A_n \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^2+A_{n-1} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^2+\ldots+A_2 \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^2+A_1 \cdot \left( \frac{p}{q} \right)+A_0=0}\)
Mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ q^n}\) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ A_n \cdot p^n+A_{n-1} \cdot p^{n-1} \cdot q+\ldots+A_2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2}+A_1 \cdot p \cdot q^{n-1}+A_0 \cdot q^n=0 \left( 1 \right) \\
A_n \cdot p^n+A_{n-1} \cdot p^{n-1} \cdot q+\ldots+A_2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2}+A_1 \cdot p \cdot q^{n-1}=-A0 \cdot q^n \\
p \cdot \left( A_n \cdot p^{n-1}+A_{n-1} \cdot p^{n-2} \cdot q+\ldots+A_2 \cdot p \cdot q^{n-2}+A_1 \cdot q^{n-1}=-A_0 \cdot q^n}\)

liczba w nawiasie jest calkowita (bo suma iloczynów całkowitych) więc lewa strona jest podzielna przez p. zatem prawa strona tez jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), czyli iloczyn \(\displaystyle{ -A_0 \cdot q^n}\) tez jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\). ponieważ \(\displaystyle{ NWD(p, q)=1}\) więc \(\displaystyle{ NWD(p, q^n)=1}\) a to znaczy że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q^n}\) nie mają wspólnych dzielników, czyli \(\displaystyle{ p}\) nie jest dzielnikiem \(\displaystyle{ q^n}\). Zatem \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ A_0}\). Wracamy do równości (1) i przekształcamy ją:
\(\displaystyle{ -An \cdot p^n=q \cdot (A_{n-1} \cdot p^{n-1}+\ldots+A_2 \cdot p^2 \cdot q^{n-3}+A_1 \cdot p \cdot q^{n-2}+A_0 \cdot q^{n-1}}\)
.. i analogicznie dochodzimy do wniosku że \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ A_n}\)
CND

[Karol_Iwan]

Dzięki zaraz go przeanalizuje thx

[ Dodano: Wto Lis 30, 2004 9:50 pm ]

ponieważ \(\displaystyle{ NWD(p, q)=1}\) więc \(\displaystyle{ NWD(p, q^n)=1}\) a toz naczy że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q^n}\) nie mają wspólnych dzielników, czyli \(\displaystyle{ p}\) nie jest dzielnikiem \(\displaystyle{ q^n}\). Zatem \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ A_0}\)

możesz mi to wytumaczyć skąd ty masz NWD i skąd wiesz ze \(\displaystyle{ NWD (p , q ) = 1}\) ??:)

[Yavien]

Poniewaz:

ma pierwiastki wymierne w postaci nieckracalnego ułamka \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\)

[aimsoft]

Gwoli scislosci nalezaloby jeszcze wykazac, ze:

\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1 \Rightarrow NWD(a,b^n)=1}\) dla calkowitego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)...

[biki]

nadal nie mogę pojąć NWD(p,q)=1, jak to udowodnić ?

[Mariusz M]

biki, to wynika z założenia że ułamek \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest nieskracalny
zresztą gdybyś czytał uważniej to Magdalena (@Yavien ) już to napisała
Tomo, ma błędy przy wykładnikach ale wygląda to na literówkę