wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
kamiolka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lanckorona
Podziękował: 62 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: kamiolka28 »

wyznacz liczę rozwiązań równania
\(\displaystyle{ (m - 3)x^{4} - 3(m - 3)x ^{2} + m + 2 = 0}\)
w zależności od parametru m.
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 20:57 przez Althorion, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Althorion »

Podpowiedź:
Zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ t := x^2}\).
Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: piti-n »

Później pewnie przydadzą się wzory Viete'a
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Althorion »

No i należy pamiętać o przypadku zdegenerowanym, w którym "gubi" się zmienna.
Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: piti-n »

Na oko widać że dla m=3 nie ma pierwiastków
kamiolka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lanckorona
Podziękował: 62 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: kamiolka28 »

Althorion pisze:No i należy pamiętać o przypadku zdegenerowanym, w którym "gubi" się zmienna.
chodzi o to że muszę zrobić założenia tzn w nawiasach wyrażenia muszę sprawdzić jak będzie wyglądało równanie jeśli nawias będzie zerem ? tak?
czy muszę odrzucić taki przypadek?

-- 24 cze 2011, o 12:31 --

jeżeli za \(\displaystyle{ t= x ^{2}}\)
i robiłam z tego że \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
wyszło mi : \(\displaystyle{ m ^{2} - 10m + 21 \ge 0}\)
z tego wyszło dla \(\displaystyle{ m=3}\) sprzeczne
a dla \(\displaystyle{ m=7}\) wyszło mi równanie \(\displaystyle{ 4x ^{4} - 12x ^{2} + 9 = 0}\)
i teraz znów muszę wprowadzić pomocniczą \(\displaystyle{ t= x ^{2}}\)
??
Ostatnio zmieniony 24 cze 2011, o 12:39 przez Althorion, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Althorion »

Już jesteś całkiem blisko. Bardzo dobrze Ci wyszło, że dla \(\displaystyle{ m=3}\) równanie sprzeczne. Natomiast nie bardzo widzę jak wywnioskowałaś resztę.

Zadanie te, modelowo, robi się tak:
Po wprowadzeniu zmiennej \(\displaystyle{ t := x^2}\):
\(\displaystyle{ (m-3)t^2 - 3(m-3)t + m + 2 = 0}\)
Teraz przyglądamy się temu wielomianowi. Gdy jego \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), to nie ma on żadnych rozwiązań, więc i wyjściowe rozwiązanie nie ma. Jeśli jego \(\displaystyle{ \Delta = 0}\), to znaczy, że istnieje dokładnie jedno takie \(\displaystyle{ t}\), które spełnia to równanie. Ale to jeszcze nie wszystko. Musi jeszcze istnieć taki \(\displaystyle{ x}\), żeby \(\displaystyle{ t = x^2}\) - co jest prawdą tylko dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\). I wreszcie trzeci przypadek - \(\displaystyle{ \Delta > 0}\). Wtedy istnieją takie dwa \(\displaystyle{ t}\), które są pierwiastkami. I znowu, interesuje nas, czy są dodatnie, czy ujemne (żeby wiedzieć, czy istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), żeby \(\displaystyle{ t = x^2}\)). Wiesz, jak to sprawdzić?
kamiolka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lanckorona
Podziękował: 62 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: kamiolka28 »

Althorion pisze:Już jesteś całkiem blisko. Bardzo dobrze Ci wyszło, że dla \(\displaystyle{ m=3}\) równanie sprzeczne. Natomiast nie bardzo widzę jak wywnioskowałaś resztę.

Zadanie te, modelowo, robi się tak:
Po wprowadzeniu zmiennej \(\displaystyle{ t := x^2}\):
\(\displaystyle{ (m-3)t^2 - 3(m-3)t + m + 2 = 0}\)
Teraz przyglądamy się temu wielomianowi. Gdy jego \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), to nie ma on żadnych rozwiązań, więc i wyjściowe rozwiązanie nie ma. Jeśli jego \(\displaystyle{ \Delta = 0}\), to znaczy, że istnieje dokładnie jedno takie \(\displaystyle{ t}\), które spełnia to równanie. Ale to jeszcze nie wszystko. Musi jeszcze istnieć taki \(\displaystyle{ x}\), żeby \(\displaystyle{ t = x^2}\) - co jest prawdą tylko dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\). I wreszcie trzeci przypadek - \(\displaystyle{ \Delta > 0}\). Wtedy istnieją takie dwa \(\displaystyle{ t}\), które są pierwiastkami. I znowu, interesuje nas, czy są dodatnie, czy ujemne (żeby wiedzieć, czy istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), żeby \(\displaystyle{ t = x^2}\)). Wiesz, jak to sprawdzić?
pewnie ze wzorów Vietea?
tylko jakbyś mi mógł napisać ten 3 przypadek?
odpowiedzi do zadań nie mam;/-- 24 cze 2011, o 14:05 --w 3 przypadku
kiedy delta wyszła \(\displaystyle{ m ^{2} - 10m +21}\) dałam że jest to większe od zera. i policzyłam dugą deltę i wyszło, że \(\displaystyle{ m=3}\) co odrzuciłam i że \(\displaystyle{ m = 7}\) z tego wynika, że równanie ma postać:
\(\displaystyle{ 4t ^{2} - 12t + 9 = 0}\)
tutaj delta będzie zerem więc \(\displaystyle{ t=1,5}\)
??
tak by mogło wyjść ? i co teraz?

\(\displaystyle{ 1,5=x ^{2}}\)
??
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

wyznacz liczę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Althorion »

Dalej nie analizujesz. Wystarczy Ci sam fakt, że \(\displaystyle{ t}\) jest dodatnie. Jakieś tam dwa \(\displaystyle{ x\text{-y}}\) spełniające tę równość będą istniały, jakie dokładnie, to już nie ważne.

A w tym trzecim przypadku, z wyróżnikiem (tzw. "deltą") dodatnim:
najłatwiej jest o to, żeby jeden \(\displaystyle{ t}\) był dodatni, a drugi ujemny. Wtedy wyjściowe rozwiązanie będzie miało tylko dwa rozwiązania (dla tego \(\displaystyle{ t}\)) dodatniego. Jest tak wtedy, gdy \(\displaystyle{ t_1t_2 < 0}\) (dlaczego?) - a to łatwo sprawdzić ze wzorów Viete'a.
Trudniejsza jest sytuacja, w którym oba \(\displaystyle{ t}\) są dodatnie (cztery rozwiązania) lub oba ujemne (zero rozwiązań). Wtedy trzeba nie tylko sprawdzić iloczyn (\(\displaystyle{ t_1t_2 > 0}\)), ale i sumę \(\displaystyle{ t_1 + t_2}\). Gdy będzie dodatnia, to oba \(\displaystyle{ t}\) są dodatnie, i vice versa.
Wreszcie ostatni przypadek, jedno \(\displaystyle{ t}\) jest zerem. Wtedy iloczyn \(\displaystyle{ t_1t_2 = 0}\). Z tego zerowego \(\displaystyle{ t}\) mamy jedno rozwiązanie (gdyż istnieje tylko jeden taki \(\displaystyle{ x}\), żeby \(\displaystyle{ x^2 = 0}\)), a dla drugiego... Trzeba sprawdzić. I znowu wzory Viete'a - gdy \(\displaystyle{ t_1 + t_2 > 0}\), to drugie \(\displaystyle{ t}\) jest dodatnie, i analogicznie w odwrotnym przypadku.
ODPOWIEDZ