2 zadanka

[tkd89]

Moi drodzy potrzebuje pomocy, mam 2 zadanka i nie potrafie sobie z nimi poradzic oto ich treść:

1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1,x2,x3 równania x�-3x�-6x+m=0 spełniają warunki: x2=x1*q, x3=x1*q�? Wyznacz te pierwiastki.

2. W kulę o promieniu r=10cm wpisano walec, którego objętość stanowi 43,2% objętości kuli. Wyznacz wymiary walca (H - wysokość, R - promień podstawy).

[PFloyd]

1) ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ -m=x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}x_{1}qx_{1}q^{2}=x_{1}^{3}q^{3}\\
3=x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}(1+q+q^{2})\\
6=x_{1}^{2}q+x_{1}^{2}q^{2}+x_{1}^{2}q^{3}=x_{1}^{2}q(1+q+q^{2})\\
\\}\)
z 2 i 3 równania:
\(\displaystyle{ 2=x_{1}q}\)
podsatwiając do 1 równania:
\(\displaystyle{ -m=2^{3}\\
m=-8}\)

[Lady Tilly]

2)
R promień podstawy walca
r promień kuli
\(\displaystyle{ (2R)^{2}+H^{2}=(2r)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R^{2}H}{\frac{4}{3}r^{3}}=0,432}\)
więc:
rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ (2R)^{2}+H^{2}=(2{\cdot}10)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R^{2}H}{\frac{4}{3}10^{3}}=0,432}\)

[PFloyd]

Objętość kuli wynosi:
\(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4000\pi}{3}\\
V_{walca}=\frac{\frac{4000\pi}{3}43,2}{100}=576\pi}\)
poza tym mamy:
\(\displaystyle{ R=\sqrt{4r^{2}-H^{2}}\\
576\pi=\pi R^{2}H\\
576=-H^{3}+4Hr^{2}\\
H^{3}-25H+36=0\\
(H-4)(H^{2}+4H-9)=0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ H,R>0}\)
to \(\displaystyle{ H,R\in \{4,-2+\sqrt{13}\}}\)

[tkd89]

w tym pierwszym mi sie wszystko zgadza ale w tym drugim cos chyba nie tak, w odpowiedziach podali ze H=16cm i R=6cm lub H=4(√13 - 2)cm i R=4√(2+√13)cm

[PFloyd]

Faktycznie zrobiłem błąd z rozpędu..
\(\displaystyle{ 2R=\sqrt{4r^{2}-H^{2}}\\
576\pi=\pi R^{2}H\\
576=\frac{400-H^{2}}{4}H\\
H^{3}-400H+2304=0\\
(H-16)(H^{2}+16-144)}\)
ponieważ \(\displaystyle{ H,R>0}\)
\(\displaystyle{ H=16\vee H=4(-2+\sqrt{13})}\)