Pierwiastki równania stopnia 4

bartolini9 · Post autor: **bartolini9** » 14 cze 2011, o 18:20

Witajcie.

Pewne równanie ma postać
\(\displaystyle{ P(s)= s^{4} +s^{2}-2}\) (zadanie z teorii sterowania).
Mam je rozwiązać wyznaczając pierwiastki równania (będą to miejsca położeń biegunów w pewnym układzie regulacji). W jaki sposób najszybciej i najprościej to rozwiązać "na kartce"?

Pozdrawiam,
Bartek

Qń · Post autor: Qń » 14 cze 2011, o 18:21

Podstawieniem \(\displaystyle{ s^2=t}\) możesz sprowadzić to równanie \(\displaystyle{ s^4+s^2-2=0}\) do kwadratowego.

Q.

piti-n · Post autor: **piti-n** » 14 cze 2011, o 18:26

I pewnie założenie \(\displaystyle{ t \ge 0}\)

bartolini9 · Post autor: **bartolini9** » 14 cze 2011, o 18:29

Ok,
uzyskujemy dwa pierwiastki rzeczywiste \(\displaystyle{ s_{1} =1, s_{2} =-1}\).
W jaki sposób dalej uzyskać dwa kolejne pierwiastki (zespolone)?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 14 cze 2011, o 18:52

\(\displaystyle{ s^2=-2}\)

Qń · Post autor: Qń » 14 cze 2011, o 18:53

Pierwiastki równania \(\displaystyle{ t^2+t-2=0}\) to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), skąd dostajemy dwa równania:
\(\displaystyle{ s^2=1}\) i \(\displaystyle{ s^2=-2}\)
Z pierwszego dostajemy dwa pierwiastki rzeczywiste, z drugiego dwa zespolone.

Q.

piti-n · Post autor: **piti-n** » 14 cze 2011, o 18:56

Qń pisze:Pierwiastki równania \(\displaystyle{ t^2+t-2=0}\) to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), skąd dostajemy dwa równania:
\(\displaystyle{ s^2=1}\) i \(\displaystyle{ s^2=-2}\)
Z pierwszego dostajemy dwa pierwiastki rzeczywiste, z drugiego dwa zespolone.

Q.

No tak, liczby zespolone

bartolini9 · Post autor: **bartolini9** » 14 cze 2011, o 19:06

Dziękuję bardzo za pomoc.