Wielomiany- 3 zadania.

[blejdziu]

Sprawa wyglada tak - mam jutro sprawdzian zaliczeniowy z wielomianow. Jest to poprawa tematu sprzed 2 i pol miesiąca - co za tym idzie, pozapominalo sie troche.. Mam kilka zadan, ktorych prosilbym o rozwiazanie i wytlumaczenie w klarowny sposob. Bylbym wdzieczny.

1) Znajdz te wartosci parametru \(\displaystyle{ p}\), dla ktorych rownanie \(\displaystyle{ x^{3} + 8x^{2} +px=0}\) ma trzy rowziazania.

2) Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) rownanie \(\displaystyle{ x^{4} +m x^{2} −m=}\)0 ma dwa rozne rozwiazania?


3) Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+2)}\) daje reszte \(\displaystyle{ 8}\), zas przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+1)}\) daje reszte \(\displaystyle{ −4}\). Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)= x^{2} +3x+2}\)

[Zimnx]

1) \(\displaystyle{ x}\) przed nawias. Kiedy rownanie kwadratowe ma dwa rozwiazania?
2) chyba cos jest zle przepisane
3) \(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x+1)}\)
Reszta z dzielenia bedzie postaci \(\displaystyle{ (ax+b)}\). Skorzystaj z twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu.

[blejdziu]

W drugim powinno byc \(\displaystyle{ mx^{2}}\)-m=0

[Zimnx]

W takim razie zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\), przy zalozeniu ze \(\displaystyle{ t \ge 0}\). Wtedy musisz otrzymac jeden dodatni pierwiastek rownania kwadratowego ze zmienna \(\displaystyle{ t}\), aby po powrocie do podstawienia otrzymac dwa z zmienna \(\displaystyle{ x}\).

[piti-n]

W takim razie zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\), przy zalozeniu ze \(\displaystyle{ t \ge 0}\). Wtedy musisz otrzymac jeden dodatni pierwiastek rownania kwadratowego ze zmienna \(\displaystyle{ t}\), aby po powrocie do podstawienia otrzymac dwa z zmienna \(\displaystyle{ x}\).

Nie za bardzo rozumię do czego zmierzasz...
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ 1 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}>0}\)
bo pierwistek musi być dodatni

\(\displaystyle{ 2 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2}<0}\)
Bo pierwistki muszą być różnych znaków
I suma tych dwóch Zbiorów

[Zimnx]

Masz racje, moj blad.
Ale Twoj pierwszy przypadek ma blad, bo twierdzisz ze istnieja dwa pierwiastki przy delcie rownej 0.
Rozwiazanie:
Aby te rownanie mialo dwa rozwiazania, rownanie ze zmienna t, musi miec dokladnie jeden pierwiastek dodatki, a drugi o ile bedzie istnial musi byc ujemny.
wiec:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = 0 \\ \frac{-b}{2a} > 0 \end{cases} \vee a \cdot f(0)<0}\)

[piti-n]

na to samo wychodzi.

[Zimnx]

Nie do konca, suma pierwiastkow nie istnieje, z delty wychodzi \(\displaystyle{ m=0}\) ktore nie spelnia warunkow zadania.

[piti-n]

\(\displaystyle{ t ^{2}+mt-m=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-4ac=m ^{2}+4m=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta _{m}=16-0=16}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta _{m} }=4}\)

\(\displaystyle{ m _{1}= \frac{-4-4}{2}=-4}\)

\(\displaystyle{ m _{2}= \frac{-4+4}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-m}{2}>0}\)

\(\displaystyle{ m<0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow m=-4}\)