Układ nierówności

[nicknameless]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1-x^2-y^2 \neq 0 \\ \frac{4x^2+9y^2-36}{1-x^2-y^2 }\ge 0 \end{cases}}\)

[xiikzodz]

Wypiszę odpowiedź:

Są to wszystkie punkty płąszczyzny leżące wewnątrz okręgu o równaniu

\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)

plus wszystkie punkty leżące na zewnątrz lub na elipsie o równaniu:

\(\displaystyle{ 4x^2+9y^2 = 36}\).

[darek88]

Czy nie mógłbyś rozwiązać tego algebraicznie? Czy rozwiązaniem jest część wspólna elipsy i koła czyli właściwe tylko całe wnętrze koła?

[piasek101]

Mam inaczej.

Rozwiązanie układu jest w zasadzie tym samym co rozwiązanie tej nierówności (mianownik niezerowy) :
- licznik nieujemny i mianownik dodatni lub licznik ujemny i mianownik ujemny.

Jedna z części nie ma punktów wspólnych.

[xiikzodz]

Hmm. No to od początku.

Oznaczmy

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2+y^2-1}\)

\(\displaystyle{ g(x,y)=4x^2+9y^2-36}\)

Zbiór:

\(\displaystyle{ G_+=\{(x,y):g(x,y)\ge 0\}}\)

to zewnętrze elipsy o równaniu \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\) wraz z tą elipsą.

Zbiór:

\(\displaystyle{ G_-=\{(x,y):g(x,y)\le 0\}}\)

to wnętrze elipsy o równaniu \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\) wraz z tą elipsą.

Zbiór:

\(\displaystyle{ F_+=\{(x,y):f(x,y)>0\}}\)

to zewnętrze okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Zbiór:

\(\displaystyle{ F_-=\{(x,y):f(x,y)<0\}}\)

to wnętrze okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Odpowiedzią jest:

\(\displaystyle{ (F_-\cap G_-)\cup(F_+\cap G_+)}\)

Pozostaje porównać to z moim pierwszym postem.

[piasek101]

Hmm. No to od początku.
Oznaczmy
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2+y^2-1}\)

,,Serio? Jestem pod wrażeniem.”

Ps. Daruj sobie takie teksty- nie wiem dlaczego przez PW.

[xiikzodz]

Dla tych, dla których wciąż nie jest czytelne (i nie wrzucili nierówności do Wolframa), o co tu chodzi, pełne rozwiązanie poprawione:

Oznaczmy

\(\displaystyle{ f(x,y)=1-x^2-y^2}\)

\(\displaystyle{ g(x,y)=4x^2+9y^2-36}\)

Zbiór:

\(\displaystyle{ G_+=\{(x,y):g(x,y)\ge 0\}}\)

to zewnętrze elipsy o równaniu \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\) wraz z tą elipsą.

Zbiór:

\(\displaystyle{ G_-=\{(x,y):g(x,y)\le 0\}}\)

to wnętrze elipsy o równaniu \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\) wraz z tą elipsą.

Zbiór:

\(\displaystyle{ F_+=\{(x,y):f(x,y)>0\}}\)

to wnętrze okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Zbiór:

\(\displaystyle{ F_-=\{(x,y):f(x,y)<0\}}\)

to zewnętrze okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Odpowiedzią jest:

\(\displaystyle{ (F_-\cap G_-)\cup(F_+\cap G_+)}\)

Na płaszczyźnie jest to więc obszar na zewnątrz okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) bez tego okręgu ograniczony elipsą o równaniu \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\) wraz z tą elipsą.