Parametr i rozkład na czynniki

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 maja 2011, o 20:11

2 zadanka, które mi zostały do zrobienia:
1. Wielomian \(\displaystyle{ x^{3}-p x^{2} - \frac{1}{2}}\) ma pierwiastek dwukrotny. Wyznacz wartość parametru p.
2. Rozłóż wielomian na czynniki stopnia możliwie najniższego, wiedząc, że podane liczby są jego pierwiastkami:
a) \(\displaystyle{ x^{3}+2 x^{2}-13x+10}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-2}\) To zrobiłem metodą "na czuja". Do funkcji iloczynowej dodałem to co było potrzebne, żeby ta 10 była na końcu czyli całość to \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x+5)}\)
b) \(\displaystyle{ 2 x^{4}-3 x^{3}-13 x^{2}+6x+8}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-2}\)

piti-n · Post autor: **piti-n** » 31 maja 2011, o 20:22

2a) Skoro 1 jest pierwiastkiem to wielomian jest podzielny przez x-1. Weź podziel i wyjdzie Ci wielomin a stopnia drugiego a z wyliczeniem jego pierwiastków już problemu raczej nie będziesz miał.

\(\displaystyle{ x ^{3} +2x ^{2}-13x+10 : (x-1)}\)

wyjdzie Ci \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x ^{2}+3x-10)}\)

z podpunktem b) idź za moim przykładem i daj wynik a na pewno sprawdze

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 maja 2011, o 20:33

w b) zrobiłem tą metodą wielomian stopnia 3

\(\displaystyle{ 2 x^{3}- x^{2}-14x-8}\)

Dalej go rozbić poprzez podzielenie przez jaki W(x)?

piti-n · Post autor: **piti-n** » 31 maja 2011, o 20:42

Teraz podziel używając drugi wiadomy pierwiastek

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 maja 2011, o 20:47

Wielkie dzięki. Wyszło już mi tak jak z tyłu książki.
A co do 1 zadania to spisałem z innego forum rozw. ale nie wiem jak do tego dojść

piti-n · Post autor: **piti-n** » 31 maja 2011, o 20:55

Nie ma za co, a co do pierwszego zadania będzie musiał niestety poczekać na kogoś innego bo ja nie mam pomysłu

Errichto · Post autor: **Errichto** » 31 maja 2011, o 21:06

Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie tym pierwiastkiem dwukrotnym. Jest to równanie 3. stopnia, więc musi być jeszcze jakiś pierw. \(\displaystyle{ b}\), 1-krotny.
\(\displaystyle{ x^3-p x^2- \frac12 =(x-a)^2 \cdot (x-b)}\)
Prawą stronę wymnóż (pozbądź się nawiasów).
Współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ x}\) muszą się zgadzać.
Gdyby wyszło np. \(\displaystyle{ x^3-p x^2- \frac12=x^3+ax^2-abx+a}\) to mielibyśmy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1=1 \\ -p=a \\ 0=-ab \\ \frac12 = a \end{cases}}\)
Układ do rozwiązania (nie ten, to tylko przykład).