iloczyn pierwiastków wielomianu

[mrn]

oto zadanie:
Ile jest równy iloczyn pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ p(x)=18x^4-117x^3+52x^2+13x-6}\)?

[anna_]

161791.htm

[tometomek91]

anna_, a to samo polecenie dla tego wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^4-1}\)?
nie wiadomo, że \(\displaystyle{ p(x)}\) ma 4 pierwiastki..

[anna_]

Ale ten z pierwszego postu ma 4 pierwiastki

[tometomek91]

przepraszam, ale skąd to wiadomo?
oczywiście można napisać cos w stylu: zauważmy, że \(\displaystyle{ p(\alpha)>0}\), \(\displaystyle{ p(\beta)<0}\) itp. gdzie te alfy można znaleźć w pierwszym lepszym programie matematycznym, ale jakby takie coś trafiło się na maturze, to wtedy jedyne jakie przychodzi mi na myśl uzasadnienie, że istnieją 4 pierwiastki to liczenie pochodnej... zresztą zawsze można powiedzieć, że w treści nie jest sprcyzowane, że maja byc to pierwiastki rzeczywiste

[anna_]

Bo rozłożyłam go na czynniki

[tometomek91]

Bo rozłożyłam go na czynniki

aha szacun

[kamil13151]

ale jakby takie coś trafiło się na maturze, to wtedy jedyne jakie przychodzi mi na myśl uzasadnienie, że istnieją 4 pierwiastki to liczenie pochodnej...

Pokazałbyś jak?

[tometomek91]

Pokazałbyś jak?

W sumie to prawie tyle samo liczenia, co szukania pierwiastków. Z tego powodu pokażę tylko zarys Żeby sobie to chociaż to odrobinę uprościć możemy podstawić \(\displaystyle{ x=\frac{1}{18}y}\), następnie spróbować rozwiązać \(\displaystyle{ p'(y)=0}\), znów podstawiając \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}z}\). Wielomian \(\displaystyle{ p'(z)}\) będzie mniej kosmiczny jak wyjściowy, bo jest stopnia 3-go a jego wspołczynnik przy najwyzszej potędze to 1. Znajdujemy trzy rozwiązania (oczywiście iksy) i pokazujemy, że to ekstrema. Wartości wielomianu w tych rozwiązaniach (jak wiemy z rozkładu na czynniki przez annę_ ) będą miały różne znaki na odpowiednich przedziałach, z ciągłości funkcji wielomianowej i tw. Darboux mamy, że są 4 pierwiastki. Gdyby w poleceniu chodziło o pierwiastki rzeczywiste, to dopiero teraz można byłoby korzystać ze wzorów Viete'a.

[anna_]

\(\displaystyle{ 6}\) jest pierwiastkiem
\(\displaystyle{ 18x^4-117x^3+52x^2+13x-6=(18x^3 - 9x^2 - 2x + 1)(x-6)}\)
potem
\(\displaystyle{ 18x^3 - 9x^2 - 2x + 1=9x^2(2x-1)-(2x-1)=...}\)

[tometomek91]

nie chiało mi się sprawdzać tej 6-tki

[kamil13151]

tometomek91, dzięki, no masz rację, nawet chyba więcej liczenia niż szukania pierwiastków .

[Mariusz M]

Ze wzoru Viete jest to wyraz wolny przez współczynnik wiodący
Nie trzeba rozkładać

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{3}}\)

Co do rozkładu to ja rozłożyłbym ten wielomian tak

\(\displaystyle{ 18x^4-117x^3+52x^2+13x-6=0\\
36x^4-234x^3+104x^2+26x-12=0\\
36x^4-234x^3=-104x^2-26x+12\\
36x^4-234x^3+\frac{1521}{4}x^2=\frac{1105}{4}x^2-26x+12\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x \right)^2= \frac{1105}{4}x^2-26x+12\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x + \frac{y}{2} \right)^2=\left( 6y+ \frac{1105}{4} \right)x^2+\left(- \frac{39}{2}y-26 \right)x+\frac{y^2}{4}+12\\
\left( \frac{39}{2}y+26\right)^2=\left( y^2+48\right)\left( 6y+ \frac{1105}{4} \right)\\
\frac{1521}{4}y^2+1014y+676=6y^3+\frac{1105}{4}y^2+288y+13260\\
6y^3-104y^2-726y+12584=0\\
3y^3-52y^2-363y+6292=0\\}\)

Teraz jeżeli nie chcemy szukać pierwiastków wymiernych
to możemy od razu zastosować podstawienie

\(\displaystyle{ y=u+v+\frac{52}{9}}\)

a to co dostaniemy pogrupować tak aby z grubsza przypominało wzory Viete równania kwadratowego

Tutaj można też ładnie pogrupować wyrazy

\(\displaystyle{ 3y^3-52y^2-363y+6292=0\\
y^2\left( 3y-52\right)-121\left( 3y-52\right)=0\\
\left( 3y-52\right) \left( y^2-121\right)=0\\
\left( 3y-52\right)\left( y-11\right)\left( y+11\right)=0\\
y=-11\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x - \frac{11}{2} \right)^2=\left( -66+ \frac{1105}{4} \right)x^2+\left(- \frac{39}{2} \cdot \left( -11\right) -26 \right)x+\frac{121}{4}+12\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x - \frac{11}{2} \right)^2= \frac{841}{4}x^2+ \frac{377}{2}x+ \frac{169}{4}\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x - \frac{11}{2} \right)^2=\left( \frac{29}{2}x+ \frac{13}{2} \right)^2\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x - \frac{11}{2} \right)^2-\left( \frac{29}{2}x+ \frac{13}{2} \right)^2=0\\
\left( 6x^2- \frac{39}{2}x - \frac{11}{2}- \frac{29}{2}x- \frac{13}{2} \right)\left(6x^2- \frac{39}{2}x - \frac{11}{2}+ \frac{29}{2}x+ \frac{13}{2} \right)=0\\
\left( 6x^2-34x-12\right)\left( 6x^2-5x+1\right)=0\\
\left( 3x^2-17x-6\right)\left( 6x^2-5x+1\right)=0\\
\left( 3x+1\right)\left( x-6\right)\left( 3x-1\right)\left( 2x-1\right)=0}\)

Jeżeli nie było zaznaczone że chodzi tylko o iloczyn pierwiastków rzeczywistych
to wystarczyło skorzystać ze wzorów Viete


Podobno ilość pierwiastków rzeczywistych zależy od ilości pierwiastków rzeczywistych
równania rozwiązującego trzeciego stopnia
a ilość pierwiastków rzeczywistych równania trzeciego stopnia także zależy od ilości pierwiastków równania rozwiązującego tyle że drugiego stopnia

Tomek na maturze można by skorzystać z twojego toku rozumowania o ile
im nie wycieli podstaw analizy matematycznej w liceum/technikum

anna_, coś się tobie znaki pomyliły

[anna_]

Fakt, już poprawiłam.
Niemiej rozkład moim sposobem jest dużo krótszy

[Mariusz M]

Fakt, już poprawiłam.
Niemiej rozkład moim sposobem jest dużo krótszy

Anna tak jest krótszy , ale za to rozkład który ja pokazałem
zadziała dla każdego równania czwartego stopnia

Pierwiastki wielomianu czwartego stopnia można znaleźć też stosując
odpowiednie podstawienia

\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)

a następnie

\(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)

albo korzystając z wielomianów symetrycznych