Suma wielomianów i rozkładanie na czynniki nierozkładalne

patro4 · Post autor: **patro4** » 22 maja 2011, o 14:40

Zadanie 1.
Oblicz sumę \(\displaystyle{ W + Q}\) i różnicę \(\displaystyle{ W-Q}\) wielomianów \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ Q}\)

a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} - x^{2} + 6x - 2}\)
\(\displaystyle{ Q(x)= 4x^{5} - 6x^{3} + 11}\)

b) \(\displaystyle{ W(x) = -3x^{2} + 5x - 1}\)
\(\displaystyle{ G(x) = 2x+1}\)

Prosiłbym o rozwiązanie i wytłumaczenie w miare możliwości jak się dodaje te wyrazy podobne itd.

Zadanie 2:
Rozłóż wielomian na czynniki nierozkładalne:
a) \(\displaystyle{ P(x)= 2x^{3} + 2x^{2} - 12x}\)

PS- wiem, że końcowy efekt będzie taki \(\displaystyle{ 2x(x-2)(x+3)}\), ale muszę to jakoś udowodnić

b) \(\displaystyle{ 7x^{3} + 2x^{2} + x}\)
PS- wiem, że prawodopodobnie końcowy efekt będzie taki \(\displaystyle{ x( 7x^{2} +2x+1)}\)

c) \(\displaystyle{ x^{3} - 5x^{2} -25x+125}\)

opti · Post autor: **opti** » 22 maja 2011, o 16:26

Zadanie 1:

\(\displaystyle{ W(x) - Q(x) = x^{3} - x^{2} + 6x - 2 - (4x^{5} - 6x^{3} + 11)}\)

- I cała filozofia. Odpowiednie potęgi do odpowiednich potęg, niektóre zostaną, niektóre się skrócą...

Zadanie 2:

\(\displaystyle{ P(x)= 2x^{3} + 2x^{2} - 12x}\)

Krótko mówiąc: masz znaleźć miejsca zerowe tego wielomianu. Zacznij od wyciągnięcia 2x przed całość, a następnie zobacz co będziesz mieć w nawiasie - funkcja kwadratowa, liczenie pierwiastków z delty.

patro4 · Post autor: **patro4** » 22 maja 2011, o 19:53

Prosiłbym o rozwiązanie i podanie wyników z tych wszystkich przykładów, bo nie wiem czy dobrze je rozwiązałem.

Co do tego:

\(\displaystyle{ x(7x^{2} + 2x + x )}\)

Z delty mi wyszło:
\(\displaystyle{ Wzór: b^{2} - 4ac}\)
\(\displaystyle{ delta: -24}\)
czyli nie ma miejsc zerowych?

Demooon · Post autor: **Demooon** » 22 maja 2011, o 21:22

chyba źle napisałeś, ale masz tutaj do tego złego
\(\displaystyle{ x ^{2} (7x + 2 + 1)=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} (7x + 3)=0}\)

miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -\frac{3}{7}}\)

a tutaj dobrze:
\(\displaystyle{ x (7x ^{2} + 2x + 1)=0}\)

delta większa od zera, więc wyrażenie w nawiasie jest dodatnie, ale przed nawiasem masz x, więc 0 to będzie miejsce zerowe.

opti · Post autor: **opti** » 23 maja 2011, o 15:38

@Demooon - niestety nie. Zobacz co wyciągnałeś przed cały nawias - w ostatnim wyrazie jest sam x, nie da się wyciągnąć przed całośc x do kwadratu.

patro4 · Post autor: **patro4** » 23 maja 2011, o 16:34

Ale ja po raz kolejny prosiłbym o rozwiązanie całkowite tych zadań. Bardzo mi na tym zależy.

opti · Post autor: **opti** » 23 maja 2011, o 16:54

W zadaniu drugim:

a) \(\displaystyle{ P(x)= 2x^{3} + 2x^{2} - 12x}\)
\(\displaystyle{ P(x) = 2x (2x^2 + x - 6)}\)
delta w nawiasie: 1 + 24 = 25, więc pierwiastek z delty to 5
Policz miejsca zerowe

b) zrobiłeś dobrze

c) \(\displaystyle{ x^{3} - 5x^{2} -25x+125}\)

Metoda grupowania wyrazów:
\(\displaystyle{ x^2(x-5) - 25(x-5)}\)
\(\displaystyle{ (x^2 - 25)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ (x-5)^2(x+5}\)

patro4 · Post autor: **patro4** » 23 maja 2011, o 17:46

up@ dziękuję ślicznie!

Jeszcze zadanie 1 bym poprosił.

opti · Post autor: **opti** » 23 maja 2011, o 19:28

Przykład 1:

\(\displaystyle{ W(x) - Q(x) = x^{3} - x^{2} + 6x - 2 - (4x^{5} - 6x^{3} + 11)}\)
\(\displaystyle{ W(x) - Q(x) = x^{3} - x^{2} + 6x - 2 - 4x^{5} + 6x^{3} - 11}\)
\(\displaystyle{ W(x) - Q(x) = - 4x^{5} + 7x^3 - x^2 + 6x - 13}\)

Drugi przykład analogicznie do tego co napisałem.

Demooon · Post autor: **Demooon** » 23 maja 2011, o 20:03

@opti ale konkretnie co źle ?
przeczytaj kilka postów po kolei, będziesz wiedział czemu tak zrobiłem.

opti · Post autor: **opti** » 23 maja 2011, o 20:09

Chodziło mi o to, iż w tym przypadku:\(\displaystyle{ P(x)= 2x^{3} + 2x^{2} - 12x}\)
przed całość wyciągnąłeś \(\displaystyle{ x^2}\), a to był błąd. Ale mniejsza z tym.

patro4 · Post autor: **patro4** » 24 maja 2011, o 17:16

Wszystko już rozumiem ale jeszcze mam kilka pytań.
Jak dodajemy wielomiany to po prawej stronie zmieniamy znaki na przeciwne tak? Z tego co widze wyżej

A w przypadku odejmowania zostają takie jakie są?

A co się dzieje w przypadku mnożenia? Mnożymy każdy wyraz z jednego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego tak? A potęgi dodajemy czy jak?

Co do zad. 1

przykład b) dobrze?

\(\displaystyle{ (- 3x^{2} +5x-1) - (2x+1)= -3x^{2}+3x

( -3x^{2} + 5x - 1) + (2x + 1) = -3x^{2} + 7x^{2}}\)

?

opti · Post autor: **opti** » 24 maja 2011, o 17:46

\(\displaystyle{ W(x) = -3x^{2} + 5x - 1}\)
\(\displaystyle{ G(x) = 2x+1}\)

\(\displaystyle{ W(x) + G(x) = (-3x^{2} + 5x - 1) + (2x+1)}\)
Tutaj opuszczamy nawiasy bez zmiany znaku, bo znak dodatni nic nam nie zmieni.

Czyli:
\(\displaystyle{ -3x^{2} + 5x - 1 + 2x+1 = -3x^2 + 7x}\)

\(\displaystyle{ W(x) - G(x) = (-3x^{2} + 5x - 1) - (2x+1)}\)
Tutaj już znak zmienimy:
\(\displaystyle{ -3x^{2} + 5x - 1 - 2x - 1 = -3x^2 + 3x - 2}\)