Pierwiastek wielomianu i parametry

[tatteredspire]

Polecenie: Dla jakich rzeczywistych wartości a i b (rozumiem, że wszystkie pary trzeba wyznaczyć) liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ 3x^{3}+ax^{2}+bx+12=0}\)

Zaczynam w ten sposób:

Niech \(\displaystyle{ W(x) = 3x^{3}+ax^{2}+bx+12}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ W(1+\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow 3(1+\sqrt{3})^{3}+a(1+\sqrt{3})^{2}+b(1+\sqrt{3})+12=0 \Leftrightarrow 3(1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3})+a(1+2\sqrt{3}+3)+b(1+\sqrt{3})+12=0 \Leftrightarrow 30+18\sqrt{3}+12+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow 42+18\sqrt{3}+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})=0}\)

Jedną parę jestem w stanie znaleźć rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4a+b=-42\\2\sqrt{3}a+b\sqrt{3}=-18\sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-12\\b=6 \end{array}}\)

Jak znaleźć wszystkie pozostałe pary bądź wykazać, że ta jest jedynym rozwiązaniem zadania?


PS: Gdyby b wyrazić od a, to:

\(\displaystyle{ b=-6-12\sqrt{3}-a-\sqrt{3}a}\)

[Natasha]

W zadaniu nie ma powiedziane, że masz znaleźć jakieś pary. Moim zdaniem jest tylko jedno rozwiązanie, więc to jest już koniec zadania. Ale mogę się mylić.

[tatteredspire]

Masz rację, że nie ma powiedziane, że trzeba znaleźć wszystkie pary, ale z doświadczenia wiem, że często autorzy zadań niezbyt dokładnie precyzują o co im chodzi.

Np. ja przez "równanie ma rozwiązania" rozumiem, że ma "co najmniej dwa", a w ich ocenie oznacza to, że "co najmniej jedno". Jest to co najmniej dziwne, bo przecież raczej mało kto mówi: "istnieją dwa zbiory puste sobie równe". W tym zadaniu też mogło mu o to chodzić, ale być może rzeczywiście doszukuję się czegoś, co nie zostało powiedziane. Tak na marginesie to już miałem zadania "dla jakich a (parametr)" i w odpowiedziach były wszystkie a spełniające warunki zadania.

A propos - abstrachując od interpretacji - Powiedziałaś, że twoim zdaniem jest to jedyne rozwiązanie. Na czym opierasz to stwierdzenie jeśli mogę zapytać? Najwyraźniej mam zbyt małą wiedzę lub umiejętności, bo w żaden ze znanych mi sposobów nie mogę tego wykazać.

[Natasha]

Bo rozwiązując Twoim sposobem wychodzi tylko jedno rozwiązanie, tego układu równań. Ale być może jest jeszcze inny sposób rozwiązania takiego zadania, ale szczerze mówiąc nic mi teraz do głowy nie przychodzi. Więc mowię, moim zdaniem...

[tatteredspire]

Bo rozwiązując Twoim sposobem wychodzi tylko jedno rozwiązanie, tego układu równań. Ale być może jest jeszcze inny sposób rozwiązania takiego zadania, ale szczerze mówiąc nic mi teraz do głowy nie przychodzi. Więc mowię, moim zdaniem...

Aha, o to chodziło z tym "moim zdaniem". Ja wiem tylko tyle, że ten sposób jest co najmniej niewystarczający, by stwierdzić, że to "wyczerpuje wszystkie możliwe przypadki". Dziękuję i pozdrawiam.

-- 17 maja 2011, o 18:35 --

Nie pomyślałem wcześniej.

Rozwiązaniem są pary liczb między którymi zachodzi opisana zależność. Zasugerowałem się niepotrzebnie odpowiedzią. Temat do zamknięcia.