Reszta z dzielenia wielomianu

[viki93]

Witajcie!

Nie mogę w żadne sposób zrozumieć zdań z resztą. Skąd co się po kolei bierze. Prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku z komentarzem. Zastrzegam, że znalazałem podobne zadania na forum, ale brakuje mi np. wyjaśnienia skąd wziął się taki a nie inny pierwiastek, albo dlaczego tak a nie inaczej wygląda reszta.

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x-4)}\) daje resztę 7, a przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) daje resztę 3. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-4)(x-2)}\).

Zapisałbym to w ten sposób
\(\displaystyle{ W(x)=(x-4) + Q_{1} + 7}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2) + Q_{2} + 3}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (x-4)(x-2) + Q_{3} + R(x)}\)
i tu mój pomysł się kończy

[pyzol]

Znalazłem coś takiego 230707.htm#p858591 .

[Inkwizytor]

Zapisałbym to w ten sposób
\(\displaystyle{ W(x)=(x-4) + Q_{1} + 7}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2) + Q_{2} + 3}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (x-4)(x-2) + Q_{3} + R(x)}\)

Do poprawki:

\(\displaystyle{ W(x)=(x-4) \cdot Q_{1} + 7}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2) \cdot Q_{2} + 3}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (x-4)(x-2) \cdot Q_{3} + ax+b}\)
Reszta z dzielenia przez wielomian stopna \(\displaystyle{ n}\) daje resztę będącą wielomianem o stopniu co najwyżej równym \(\displaystyle{ n-1}\)
W Twoim przypadku dzielisz przez wielomian stopnia drugiego \(\displaystyle{ (x-4)(x-2)}\) czyli reszta będzie stopnia pierwszego, więc możemy ją zapisać w postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)
Teraz wystarczy zastosować tw. Bezout dla podanych informacji
\(\displaystyle{ W(4)=7 \\
W(2)=3}\)
podstaw do ostatniego zapisu i otrzymasz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: a i b

[viki93]

Dzięki, już rozumiem