Reszta z dzielenia wielomianu W(x).

[Luxxar]

Znajdź resztę
\(\displaystyle{ W(x)/ x^3-x}\)
wiedząc że
\(\displaystyle{ W(0)=2 \\
W(1)=-1 \\
W(-1)=3 \\}\)
...
Myślałem że jestem dobry z wielomianów a to zadanie mnie pokonało..


edit
Latex , \(\displaystyle{ W(x)}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ x^3-x}\)

[cosinus90]

Nie napisałeś przez co wielomian jest dzielony. Poza tym używaj kodu LaTeX.-- 12 maja 2011, o 22:20 --Reszta z dzielenia wielomianu jest stopnia co najwyżej o jeden niższego niż wielomian, przez który dzielimy.
Rozpisz sobie \(\displaystyle{ W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) to reszta, a wielomiany składowe \(\displaystyle{ P(x)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)}\) są zerowane przez pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}-x}\).

[Luxxar]

Musisz mi powiedzieć coś więcej bo to co napisałeś wiedziałem ale nie potrafiłem tego wykorzystać.

[cosinus90]

Nic nie muszę. Ewentualnie mogę.

\(\displaystyle{ W(x) = P(x) \cdot Q(x)+R(x)}\)
\(\displaystyle{ R(x) = ax^{2}+bx+c, \Rightarrow W(x) = P(x) \cdot Q(x) + ax^{2}+bx+c}\)
\(\displaystyle{ W(0) = ... = 2}\)
itd.

[Luxxar]

Oczywiście , nie jestem w stanie Cie do niczego zmusić.
Mam pytanie skąd wiemy że reszta jest postaci funkcji kwadratowej , a nie np. wielomianu stopnia n>2 ?

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) \\
W(1)=Q(1)P(1)+a+b+c \\
W(-1)=Q(-1)P(-1)+a-b+c \\
c=2 \\
W(1)+W(-1)=Q(-1)P(-1)+Q(1)P(1)+2a+4=2 ?? \\
2a=-2\\
a=-1 \\}\)
Wydaje mi się to nielogiczne i nie wiem co dalej z tym zrobić.

Edit
Teraz widze ze gdyby podążać tym tokiem myślenia to \(\displaystyle{ b=-2}\)
czyli reszta :
\(\displaystyle{ -x^2-2x+2}\)
Ale nie rozumiem jak to zrobiłem

[cosinus90]

Mam pytanie skąd wiemy że reszta jest postaci funkcji kwadratowej , a nie np. wielomianu stopnia n>2 ?

Reszta z dzielenia wielomianu jest stopnia co najwyżej o jeden niższego niż wielomian, przez który dzielimy.

Powiedziałeś, że to wiesz, więc skąd to pytanie?
Napisałem również, że wielomiany \(\displaystyle{ P(x),Q(x)}\) zerują się po podstawieniu pierwiastków wielomianu przez który dzielimy...

[Luxxar]

Reszta z dzielenia wielomianu jest stopnia co najwyżej o jeden niższego niż wielomian, przez który dzielimy.

Jest stopnia co najwyżej o jeden niższego.
Czyli dzieląc przez wielomian stopnia 3 , R(x) może być stopnia\(\displaystyle{ n \ge 2}\)

Resztę już zrozumiałem , dzięki!

[cosinus90]

Jest stopnia co najwyżej o jeden niższego.
Czyli dzieląc przez wielomian stopnia 3 , R(x) może być stopnian \(\displaystyle{ \ge 2}\)

Bzdura, myśl matematycznie. Co najwyżej o jeden niższego, tzn. jeśli wielomian ma stopień \(\displaystyle{ m}\), to reszta co najwyżej \(\displaystyle{ m-1}\), zatem stopień reszty jest \(\displaystyle{ n \le 2}\).

[Luxxar]

Teraz wszystko zrozumiałem jak należy.
Dziękuje za poświęcony mi czas.
Pozdrawiam!