Jeśli ktoś mógłby mi pomóc prosze o rozwiązanie 2 równań:
a) \(\displaystyle{ x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1=0}\)
b \(\displaystyle{ x^{6} - 9x^{3}+8=0}\)
W przykładzie b najpierw podzieliłem wielomian przez (x-1) a następnie otrzymany wielomian przez (x-2) i dalej nie wiem co robić :/
Z Góry Dziękuje ... Pozdrawiam!!
2 równania ...
-
KinSlayer
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 gru 2006, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 17 razy
2 równania ...
b)
\(\displaystyle{ x^{6}-9x^{3}+8=0\\
x^{6}-8x^{3}-x^{3}+8=0\\
x^{3}(x^{3}-1)-8(x^{3}-1)=0\\
(x^{3}-1)(x^{3}-8)=0\\
(x-1)(x^{2}+x+1)(x-2)(x^{2}+4x+4)=0}\)
rownania kwadratowe sa nierozkladalne wiec jedynymi rozwiazaniami sa 1 i 2
\(\displaystyle{ x^{6}-9x^{3}+8=0\\
x^{6}-8x^{3}-x^{3}+8=0\\
x^{3}(x^{3}-1)-8(x^{3}-1)=0\\
(x^{3}-1)(x^{3}-8)=0\\
(x-1)(x^{2}+x+1)(x-2)(x^{2}+4x+4)=0}\)
rownania kwadratowe sa nierozkladalne wiec jedynymi rozwiazaniami sa 1 i 2
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
2 równania ...
a)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest pierwiastkiem tego równania, zatem możemy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0\\
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ t = x + \frac{1}{x}}\)
Zauważmy, że mamy \(\displaystyle{ t^{2} = (x + \frac{1}{x^{2}})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2}\).
Stąd nasze równanie jest równoważne poniższemu:
\(\displaystyle{ t^{2} - 2 - 5t + 6 = 0\\
t^{2} - 5t + 4 = 0\\
t = 4 t = 1}\)
Wracamy do podstawienia:
\(\displaystyle{ 4 = x + \frac{1}{x} 1 = x + \frac{1}{x}}\)
Mnożymy obie strony równań przez \(\displaystyle{ x}\) i rozwiązujemy równania kwadratowe.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest pierwiastkiem tego równania, zatem możemy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0\\
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ t = x + \frac{1}{x}}\)
Zauważmy, że mamy \(\displaystyle{ t^{2} = (x + \frac{1}{x^{2}})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2}\).
Stąd nasze równanie jest równoważne poniższemu:
\(\displaystyle{ t^{2} - 2 - 5t + 6 = 0\\
t^{2} - 5t + 4 = 0\\
t = 4 t = 1}\)
Wracamy do podstawienia:
\(\displaystyle{ 4 = x + \frac{1}{x} 1 = x + \frac{1}{x}}\)
Mnożymy obie strony równań przez \(\displaystyle{ x}\) i rozwiązujemy równania kwadratowe.
