.Rozstrzygnij, ile wielomian ma pierwiastków całkowitych...

[cysiu5]

.Witam

mam zadanie:
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) przy czym \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{C}}\) i \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Rozstrzygnij, ile pierwiastków całkowitych może mieć wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\), jeżeli wiadomo też, że iloczyn \(\displaystyle{ W(0) \cdot W(1)}\)jest liczbą nieparzystą.

ja to robiłem w ten sposób:
z warunków zadania wiemy, że \(\displaystyle{ W(0)=d}\) i \(\displaystyle{ W(1)=a+b+c+d}\). jeżeli iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty, to obie muszą być nieparzyste, więc \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą i suma \(\displaystyle{ a+b+c+d}\)jest nieparzysta, a że \(\displaystyle{ d}\)jest nieparzyste, to suma \(\displaystyle{ a+b+c}\)jest parzysta. rozważyłem również dwa przypadki:
-kiedy \(\displaystyle{ x}\)jest parzyste
\(\displaystyle{ W(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d = x(ax^{2}+bx+c)+d}\)
wtedy liczba \(\displaystyle{ x(ax^{2}+bx+c)}\) jest parzysta, a gdy dodamy \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzysta
-kiedy \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste
\(\displaystyle{ W(x) = (ax^{3}+bx^{2}+cx)+d}\)
liczba \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest parzysta, więc jeżeli każda z nich jest parzysta to \(\displaystyle{ (ax^{3}+bx^{2}+cx)}\) jest liczbą parzystą i w sumie z liczbą \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą, a jeżeli dwie spośród nich są nieparzyste, to też \(\displaystyle{ (ax^{3}+bx^{2}+cx)}\) jest liczbą parzystą i w sumie z liczbą \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą.
Czyli, zakładając, że mój tok rozumowania jest prawidłowy, dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ x}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przyjmuje wartości nieparzyste, przy warunkach tego zadania. No i na tym się kończy moje rozwiązywanie tego zadania. Jak z tego rozumowania rozstrzygnąć, ile wielomian może mieć pierwiastków całkowitych? oO

bardzo proszę o pomoc, pozdrawiam \(\displaystyle{ }\)

[Justka]

Twoje rozumowanie okay, pokazałeś, że dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ x}\) (czyli wszystkich podejrzanych o bycie pierwiastkami wielomianu) W(x) przyjmuje wartości nieparzyste, czyli wartością tą nie może być zero, zatem wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych.

Można też tak:
Niech \(\displaystyle{ x_0}\) będzie całkowitym pierwiastkiem wielomianu, czyli \(\displaystyle{ x_0|d}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 2 \nmid d}\) to \(\displaystyle{ 2 \nmid x_0}\).

Teraz \(\displaystyle{ W(x_0)=0=x_0(ax_0^2+bx_0+c)+d \ \Leftrightarrow \ x_0(ax_0^2+bx_0+c)=-d}\) i pokazujesz, że lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta i koniec.

[cysiu5]

.już kumam, dzięki wielkie za pomoc ^^