Trzykrotny pierwiastek wielomianu

[rafaluk]

Wyznacz parametry (m) i (n), tak aby (-1) było trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^4 +5x^3 +mx^2 +(m-n)x +n}\).

Póki co wyliczyłem:

\(\displaystyle{ W(-1)=1-5+m-m+n+n=0 \Rightarrow n=2}\)

Próbowałem robić to też takim jakby rozkładem, ale nie wiem, czy tak w ogóle wolno:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^3+4x^3+4x^2+(m-4)x^2+(m-4)x+2x+2=x^3(x+1)+4x^2(x+1)+(m-4)x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x^3+4x^2+(m-4)x+2)=(x+1)(x^3+x^2+3x^2+3x+(m-7)x+2)}\)

Z tego wiemy, że \(\displaystyle{ m-7=2}\), czyli \(\displaystyle{ m=9}\). Could be?

//edit:

Dalej sprawdzam dla m=9 i się zgadza. Ale skąd mam wtedy wiedzieć, czy to jest jedyny wynik?

[lukasz1804]

Może być, ale do pełnej poprawności rozwiązania to nie wystarcza. Trzeba jeszcze rozłożyć na czynniki wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ x^3+x^2+3x^2+3x+(m-7)x+2}\) i wykazać, że po rozkładzie otrzymamy jako jeden z czynników trójmian kwadratowy, który ma w postaci iloczynowej dokładnie jeden czynnik postaci \(\displaystyle{ x+1}\).

To jest jedyne rozwiązanie, gdyż jednoznaczny jest rozkład wielomianu na czynniki nierozkładalne (a dwumian \(\displaystyle{ x+1}\) jest nierozkładalny - nie da się przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów dodatniego stopnia).

[AsiaPipitrasia]

Hmm...

Mi również tak wyszło...
A spróbowała bym to uzasadnić:

pierwiastkami wielomianu są: -1 i -2, więc:
\(\displaystyle{ (x+2)(x+1)^{3}}\)
współczynniki które nam tutaj wyjdą porównujemy ze współczynnikami naszego \(\displaystyle{ W(x)}\) i wychodzą m i n

I chyba nie ma innej opcji? ;P

[rafaluk]

Też mi się tak wydaje. Dziwne zadanie, szkoda, że nie ma jakiejś prostszej, bardziej oczywistej metody. Dzięki!

[piasek101]

I szło od razu z postaci iloczynowej \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^3(x+n)}\).

[rafaluk]

I szło od razu z postaci iloczynowej \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^3(x+n)}\).

A skąd byśmy wiedzieli na początku, że (-n) jest jednym z pierwiastków?

//edit:

Widzę tylko, że \(\displaystyle{ W(0)=n=2}\).

[piasek101]

Jeśli ma potrójny (-1) to masz \(\displaystyle{ (x+1)^3}\) po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ (x-a)}\) z porównania postaci wielomianów dostaniesz
\(\displaystyle{ -a=n}\).