Wykaż, że reszta z dzielenia...

[winux1]

Wykaż, że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)=x^{100}-x^{98}+x^{96}-...+x^{4}-x^{2}+1}\) przez \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}-1}\) jest równa 1. Jak to zrobić?

[szw1710]

Oblicz \(\displaystyle{ w(1)}\) i \(\displaystyle{ w(-1)}\). Po podzieleniu otrzymamy postać \(\displaystyle{ w(x)=p(x)(x^2-1)+ax+b}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ p(x)}\) oraz wyrażenia liniowego \(\displaystyle{ ax+b}\) (jakiego stopnia jest reszta z dzielenia przez trójmian?)

Co można wywnioskować z tych informacji? Dodam, że ta wskazówka jest pełna - wystarczy całkowicie do rozwiązania zadania.

[michary91]

albo tak:
\(\displaystyle{ x^{100}-x^{98}=x^{98} (x^2-1)}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}=x^2(x^2-1)}\)

[szw1710]

michary91 Oczywiście i jest to znacznie prostsze. Też to widziałem, ale jakoś obawiałem się potężnego wielomianu po wyciągnięciu przed nawias. Nie wiem czemu

[winux1]

albo tak:
\(\displaystyle{ x^{100}-x^{98}=x^{98} (x^2-1)}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}=x^2(x^2-1)}\)

i tego tu było potrzeba. Dzięki!