wyznacz liczby całkowite

[v_vizis]

Wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{x ^{4}-4x ^{2}+x+6 }{x+2}}\) jest liczbą całkowitą.
jak wiem dziedzina \(\displaystyle{ x \neq -2}\). Proszę o dokładne wytłumaczenie

Pozdrawiam.

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \frac{x ^{4}-4x ^{2}+x+6 }{x+2}= \frac{x+2}{x+2}+ \frac{x^4-4x^2+4}{x+2}=1+ \frac{x^4-4x^2}{x+2}+ \frac{4}{x+2}=1+\frac{x^2(x-2)(x+2)}{x+2}+ \frac{4}{x+2}=1+x^2(x-2)+\frac{4}{x+2}}\)

Teraz, czy wyrażenie będzie liczbą całkowitą zależy ostatnia część. Pamiętaj o liczbach ujemnych.

[v_vizis]

Dzięki kamil13151 za zainteresowanie tematem. Nie wiem jak rozpisać ostatnią część, jaki warunek musi zostać spełniony aby były to liczby całkowite?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ x+2}\) musi być dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 4}\).

[v_vizis]

\(\displaystyle{ x+2}\) musi być dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 4}\).

Dlaczego?

[miodzio1988]

Bo jak nie będzie to wyjdzie Ci ułamek. A w "większości" ułamki nie są liczbami całkowitymi

[v_vizis]

Dzięki miodzio1988. Czy zamiast tak rozpisywać tego wyrażenia jak zrobił to kamil13151, mogłabym podzielić licznik przez x+2?

[miodzio1988]

Owszem. Wtedy byłoby to zwykłe dzielenie wielomianów. Powinno się sprowadzić to do tego samego co zrobił Kamil

[v_vizis]

Podzieliłam licznik przez x+2 i wyszło mi: \(\displaystyle{ (x ^{3}-2x ^{2})(x+2)+ \frac{x+6}{x+2}=(x ^{3}-2x ^{2})(x+2)+1+ \frac{4}{x+2}}\), nieco inaczej niż kamilowi.

[kamil13151]

v_vizis, źle zostało podzielone. Skąd masz \(\displaystyle{ (x+2)}\) w iloczynie?

[v_vizis]

tak, mała pomyłka. Po podzieleniu licznika przez x+2 powinnam otrzymać \(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}}\) dodać resztę czyli \(\displaystyle{ \frac{x+6}{x+2}}\). Teraz otrzymałam to co Ty. Dzięki