Wielomian z parametrem

[rafaluk]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^2+mx(1+x)-x}\)

ma 4 różne pierwiastki.

[Qń]

Wskazówka: dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) pierwiastkami tego równania są \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Q.

[rafaluk]

\(\displaystyle{ W(x)=x(x^3-2x+m(1+x)-1)=x(x^3-2x+m+mx-1)= \\ =x(x^3+(m-2)x+m-1)}\)

Kombinuję i coś nie ten :/ skąd wzięło się to \(\displaystyle{ (-1)}\)?

//edit:

OOo, mam!

\(\displaystyle{ W(x)=x(x^3+(m-2)x+m-1)=x(x^3+(m-2)x+(m-2)+1)=x(x^3+1+(m-2)(x+1))=x((x+1)(x^2-x+1)+(m-2)(x+1))=x(x+1)(x^2-x+m-2)}\)

Okej, już wszystko wiem! :*

//edit2:

Czy wychodzi \(\displaystyle{ m \in (- \infty ; \frac{3}{4})}\)?

[TheBill]

Ostatnie przekształcenie jest źle.

[rafaluk]

Ach, nie dodałem jedynki. W takim razie wychodzi \(\displaystyle{ m \in (- \infty ; \frac{5}{4})}\).

[TheBill]

Warunek \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) nie jest wystarczający.

[rafaluk]

Chodzi o to, że pierwiastki nie mogą się powtarzać? Tzn:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\Delta >0 \\ x \neq -1 \\ x \neq 0\end{cases}}\)

???

[TheBill]

No oczywiście, że nie mogą sie powtarzać, bo masz wyznaczyć wszystkie wartości parametru m dla których wielomian ma 4 różne pierwiastki.
Dobrze wywnioskowałeś, tylko że błędnie zapisałeś warunek "\(\displaystyle{ x \neq - 1}\) i \(\displaystyle{ x \neq 0}\)"

[rafaluk]

Chodzi o brak spójnika "i", czy o to, że eliminuję (x), które są 'poprawne' wcześniej?

[TheBill]

Jeśli \(\displaystyle{ f(x)=x^2-x+m-1}\), to \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ f(-1) \neq 0}\)